Udowodnić, że trójkąt jest równoboczny

Oznaczmy przez , i wysokości trójkąta opuszczone odpowiednio na jego boki , i . Udowodnij, że jeśli:
to ten trójkąt jest równoboczny.

Wskazówka: Każdą wysokość przedstaw jako wyrażenie zależne od boku i pola trójkąta.

Czyli mamy:

I co dalej można zrobić?

Zrób coś z tym:

Ok, to mam:





Z powyższej równości wynika:
1)
lub
2)
Z 2) wynika, że trójkąt jest prostokątny, jednak tak być nie może, gdyż wówczas dochodzimy do sprzeczności:

co nie może być prawdą, gdyż wówczas nasze jest przyprostokątną tego trójkąta. Wobec tego równość 1) jest prawdziwa i ostatecznie mamy:

Powyższą równość otrzymuję analogicznie przyrównując zależności boków i i pola tego trójkąta. Ta równość kończy dowód.
Czy to jest dobrze?

Z dwóch równań mamy takie możliwości:
1.


czyli trójkąt jest równoboczny.

2.


to sprzeczność, bo albo mamy trzy przyprostokątne, albo przeciwprostokątna jest równa przyprostokątnej (w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, czyli u nas byłyby to dwa kąty proste).

3.


to sprzeczność, bo przeciwprostokątna jest równa przyprostokątnej, czyli trójkąt ma dwa kąty proste.

4.
j.w. tylko zamieniamy miejscami literki b i c.

Stąd wniosek, że zachodzi przypadek 1, czyli trójkąt jest równoboczny.