szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2014, o 21:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 358
Lokalizacja: Pomorskie
Oznaczmy przez h _{a}, h _{b} i h _{c} wysokości trójkąta opuszczone odpowiednio na jego boki a, b i c. Udowodnij, że jeśli:
a+h _{a}=b+h _{b}=c+h _{c} to ten trójkąt jest równoboczny.
Góra
Kobieta Online
PostNapisane: 1 sty 2014, o 22:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4347
Lokalizacja: Łódź
Wskazówka: Każdą wysokość przedstaw jako wyrażenie zależne od boku i pola trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2014, o 22:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 358
Lokalizacja: Pomorskie
Czyli mamy:
a+ \frac{2S}{a}=b+ \frac{2S}{b} =c+ \frac{2S}{c}
I co dalej można zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2014, o 23:00 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Zrób coś z tym:
a+ \frac{2S}{a}=b+ \frac{2S}{b}

Wskazówka:    
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 sty 2014, o 23:15 
Użytkownik

Posty: 1890
Lokalizacja: Warszawa
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2014, o 23:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 358
Lokalizacja: Pomorskie
Ok, to mam:
a+ \frac{2S}{a}=b+ \frac{2S}{b}  \setminus  \cdot ab
a \cdot ab+2Sb=b \cdot ab+2Sa
a \cdot ab+2Sb-b \cdot ab-2Sa=0
ab(a-b)+2S(b-a)=0
(a-b)(2S-ab)=0
Z powyższej równości wynika:
1) a=b
lub
2)S= \frac{ab}{2}
Z 2) wynika, że trójkąt jest prostokątny, jednak tak być nie może, gdyż wówczas dochodzimy do sprzeczności:
b=c
co nie może być prawdą, gdyż wówczas nasze c jest przyprostokątną tego trójkąta. Wobec tego równość 1) jest prawdziwa i ostatecznie mamy:
a=b=c
Powyższą równość otrzymuję analogicznie przyrównując zależności boków b i c i pola tego trójkąta. Ta równość kończy dowód.
Czy to jest dobrze?
Góra
Kobieta Online
PostNapisane: 2 sty 2014, o 00:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4347
Lokalizacja: Łódź
Z dwóch równań mamy takie możliwości:
1.
\begin{cases} a=b\\ a=c \end{cases}

czyli trójkąt jest równoboczny.

2.
\begin{cases} S= \frac{ab}{2}  \\  S= \frac{ac}{2} \end{cases}

to sprzeczność, bo albo mamy trzy przyprostokątne, albo przeciwprostokątna jest równa przyprostokątnej (w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, czyli u nas byłyby to dwa kąty proste).

3.
\begin{cases} a=b \\  S= \frac{ac}{2}  \end{cases}

to sprzeczność, bo przeciwprostokątna jest równa przyprostokątnej, czyli trójkąt ma dwa kąty proste.

4.
j.w. tylko zamieniamy miejscami literki b i c.

Stąd wniosek, że zachodzi przypadek 1, czyli trójkąt jest równoboczny.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnić, że suma długosci odcinków w trójkącie jes  Vithal  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 Uzasadnij, że w trójkącie suma przyprostokątnych jest .  tomekn  2
 Jaki to trójkąt? Podane długości boków  iwcia100  3
 Trójkąt - Oblicz długość trzeciego boku  Tama  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl