szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2014, o 15:32 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Liczba 9^{2014}-49 \cdot 7^{2014} nie dzieli się przez (jedna z odpowiedzi): 2,5,7,10, nie można tego oszacować.

Moje rozwiązanie:
9^{2014}-49 \cdot 7^{2014}  \Leftrightarrow 9^{2014}-7^{2016}
Kolejne wielokrotności liczby 9 mają na końcu 9,1,9,1,9,1,9,1,.... Powstaje ciąg arytmetyczny, którego wszystkie nieparzyste wyrazy są dziewiątkami, a wszystkie parzyste jedynkami. 9^{2014} więc, będąc parzystym wyrazem ciągu jest "jedynką" (skrót myślowy, chodzi o to, że na końcu ma 1)
Kolejne wielokrotności liczby 7 mają na końcu 7,9,3,1,7,9,3,1,.... Teraz mamy ciąg, który wyrazom parzystym niepodzielnym przez 4 przypisuje 9, a wyrazom parzystym podzielnym przez 4 przypisuje 1 (nie ma sensu opisywać pozostałych przypadków). Nietrudno zauważyć, że 7^{2016} jest parzystym wyrazem ciągu podzielnym przez 4. Stąd wyraz ten jest "jedynką" (ponownie skrót myślowy). Liczba ta więc ma na końcu 1-1=0. Co wyklucza odpowiedzi 1,2,4,5, a jedyną poprawną pozostaje 7.

Mam dwa pytania:
1. Czy podane przeze mnie rozwiązanie jest poprawne?
2. Czy da się to rozwiązać szybciej, prościej?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 sty 2014, o 15:41 
Użytkownik

Posty: 1890
Lokalizacja: Warszawa
Ostatnią cyfrą tej różnicy jest cyfra 0.
Więc cała liczba na pewno dzieli się przez 2,5,10
To jest generalnie taki sam wniosek ja Twój, tylko krócej :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2014, o 15:49 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Ale czy istnieje szybsza metoda wyznaczenia ostatniej cyfry?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2014, o 16:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3367
Lokalizacja: Krk
Dla takich potęg to chyba najszybszy sposób.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2014, o 14:16 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Ciągi o których mówisz, są geometryczne, a nie arytmetyczne. Wyrażenie nie dzieli się przez 7, a dzieli się przez 4.
Jeśli pytasz o szybsze rozwiązanie, to można zrobić dokładnie to samo, ale znacznie krócej i bardziej elegancko przy pomocy kongruencji. Bo to wszystkie własności które intuicyjnie znasz i czasem podświadomie wykorzystujesz już dawno zostały udowodnione i wyposażone we własny formalny zestaw znaczków. I tak oto liczba 81 nazwana przez Ciebie jedynką oznacza w języku kongruencji zwykłą równość 81 \equiv 1. Czas jaki poświęcisz na poznanie tego naprawdę prostego narzędzia będzie znikomy, wysiłek żaden, a korzyści ogromne. Naprawdę bardzo użyteczne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl