szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 11 sty 2014, o 21:06 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Włocławek
Zadanie nr 20 ze zbioru W.Pompe.
Szukam jakiegoś zbrabnego rozwiązania ale mam tylko takie, masakryczne:
Obrazek
Aby udowodnić współliniowość, należy dowieść że:
\frac{|JP|}{|AJ}=\frac{|BQ|}{|BA|}
Dowód:
1. |BQ|= \sqrt{2} \sin\beta \Rightarrow \frac{|BQ}{|BA|}=\sqrt{2} \sin\beta
2. \triangle CDE

- |EP|=|DE|\sin\beta;
- |DE|=\frac{|DC|}{\cos(45-\beta)}=\frac{\sqrt{2}}{(\sin\beta+\cos\beta}
\Rightarrow |EP|=\frac{\sqrt{2}}{ \sin\beta+\cos\beta}
3.\triangle BEP - równoramienny

- |BP|=|EP|=\frac{\sqrt{2}\sin\beta}{\sin\beta+\cos\beta}
4. \triangle ABP

- |PF|=\frac{|BP|}{\sqrt{2}}=\frac{\sin\beta}{\sin\beta+\cos\beta}=|BF|
- |AF|=1-|BF|=\frac{\cos\beta}{\sin\beta+\cos\beta}
5. \triangle FPJ

- |JP|=\frac{|FP|}{\sin(45+\beta)}=\frac{\sqrt{2}\sin\beta}{(\sin\beta+\cos\beta)^{2}}
- |FJ|=|JP|\cos(\beta+45)=\frac{\sin\beta(\cos\beta-\sin\beta)}{(\sin\beta+\cos\beta)^{2}}
- |AJ|=|AF|-|JF|=\frac{1}{(\sin\beta+\cos\beta)^{2}}
\Rightarrow \frac{JP|}{|AJ|}=\sqrt{2}\sin\beta

\Rightarrow \frac{|JP|}{|AJ|}=\frac{|BQ|}{|AB|} cnd

UFFFF !!!
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 11 sty 2014, o 21:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 121
Lokalizacja: Końskie
Niech R to punkt przecięcia AD i PE ,ponieważ |\angle DRP|=45=|\angle DBE| to punkt B należny do okręgu opisanego na trójkącie DRE. Punkty A, P i Q leżą na prostej simsona punktu B i trójkąta DRE.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 12 sty 2014, o 12:23 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Włocławek
Prosta Simsona ! Kto o tym słyszał ?
Ostatni wpis o tym "dziwie" na forum był w 2007 r.
Ale chylę czoła. Rozwiązanie super krótkie.

Może w takim razie spróbujmy jeszcze zadania nr. 19. Rozwiązanie VAX-a, z wątku "Cechy przystawania trójkątów - zadania", chociaż dobre, to jednak nie takie, o jakie chodzi autorowi, gdyż zadanie jest z działu "Kąty w okręgu".
Nadaje się bardziej tutaj i może ktoś podeśle coś zgrabnego i odpowiedniego.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 12 sty 2014, o 12:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 121
Lokalizacja: Końskie
Rozwiązanie Vax-a jest dobre, ale jeśli już na siłę chcesz jakiś okrąg to poczytaj sobie tu:http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/geometria/planimetria/2013/02/28/Obroty_kwadratow/
PS: Wpisy o Prostej Simsona były już wcześniej :P.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 12 sty 2014, o 19:35 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Włocławek
Dobry kierunek ! Dzięki.
Byłoby więc tak:
Obrazek
1. Okrąg opisany na\triangle CDF
2. Obracam \triangle BCE o 90^{\circ}  \Rightarrow \triangle ABF'  \Rightarrow F' należy do okręgu \Rightarrow S' - punkt przecięcia okręgu przez BF'
3. \angle ES'B = 90^{\circ}  \Rightarrow S \equiv S'  \Rightarrow \angle DSF = 90^{\circ} cnd.

P.S. Ja nie pisałem, że nie było wpisów wcześniej, pisałem że nie było później :P :P
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 13 sty 2014, o 20:13 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Stawiam wszystkie pieniądze, że ta prosta była nawet w roku 2013. A i nie Htorb jeden robił to zadanie z jej wykorzystaniem, to bardzo fajny pomysł i wcale nie z kosmosu.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 13 sty 2014, o 23:36 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Włocławek
Zgadzam się że fajny pomysł. Dobrze o nim wiedzieć !
Moją wiedzę na sporny temat wywodzę z funkcji szukaj. Ostatni temat jaki podaje wyszukiwarka forum ma datę 2007 r. Wcześniejsze oczywiście są.

Ale przy okazji trochę na temat zadania 21, którego rozwiązanie podał VAX w wątku "Cechy przystawania trójkątów - zadania". Chodzi o drugi dowód zadania- wspólny punkt przecięcia prostychAD, BE i CF.
Zadanie to bardziej pasuje tutaj, jako że autor umieścił je w dziale "Kąty w okręgu".
Wydaje mi się, że można krócej.
Obrazek
Niech pukt S będzie punktem przecięcia odcinków AD i BE
- kąty między wszystkim prostymi tezy wynoszą po 60^{\circ}
- kąt widzenia odcinka AB z punktu S = 120^{\circ}
- kąty między prostymi: \angle AD-CF =\angle BE-CF=120^{\circ}
- \Rightarrow CF przechodzi przez punkt S cnd.

Wynika to ze stosunkowo mało używanego twierdzenia, że w trójkącie jest tylko jednen punkt, z którego kąt widzenia wszystkich boków jest równy (i wynosi 120^{\circ}).
Jest to ważne dla trójkątów ostrokątnych i rozwartokątnych o kącie mniejszym od 120^{\circ}. Po przekroczeniu 120^{\circ}, kąty widzenia mniejszych boków wynoszą po 60^{\circ}.

A swoją drogą, dobrze byłoby na forum udowodnić to twierdzenie.
Można np. oprzeć się o fakt, że miejscem geometrycznym punktów, z których odcinek widać pod kątem 120^{\circ} , jest okrąg w którym przedmiotowy odcinek stanowi cięciwę dającą kąt środkowy równy 120^{\circ}.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 14 sty 2014, o 01:04 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Kończąc już poboczną dyskusję o występowaniu prostej Simsona, to ja szybko w wyszukiwarce znalazłem ją z roku 2008, i z całą pewnością pisałem o niej w zeszłym roku.
Jeśli myślisz już jakiś czas nad zadaniem z Pompego i myślisz, że to dość i nic więcej nie wymyślisz, to zazwyczaj oznacza, że musisz jeszcze dwa, trzy razy tyle pomyśleć. I jak zrobisz brzydko, to nadal poświęć od groma czasu na to zadanie, bo to jest chyba nich największa wartość, że można naprawdę nieźle poobgryzać wszystkie palce przy nich i wpaść przy tym na wiele fajnych pomysłów. Powstrzymuj się jeszcze bardziej z proszeniem o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 16 sty 2014, o 15:05 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Włocławek
Zadanie 24.
Fajne ! Początkowo wydawało się łatwe ale gdy się zacząłem w nie "wgryzać", to zabrało mi sporo czasu.
Mam takie rozwiązanie:
Obrazek
1. AP jest cięciwą wspólną okręgów o promieniach R1 i R2, opisanych na \triangle ABP i \triangle ADP

- \angle ABP = \angle ADP

- \Rightarrow R1 = R2

2. CP jest cięciwą wspólną okręgów o promieniach R3 i R4, opisanych na \triangle CDP i \triangle CBP

- \Rightarrow \angle CDP = \angle CBP

- \Rightarrow R3 = R4

3. R4 jest również opisany na \triangle PP'C gdzie: CP wspólna cięciwa z R3, \angle PP'C = \angle CBP, CP' \parallel BP i PP' \parallel BC

- \Rightarrow \triangle DCP' \equiv \triangle ABP

- \Rightarrow R4 = R1

4. \Rightarrow \angle BAP = \angle BCP  \Rightarrow \angle DAP = \angle DCP cnd.

W podobny sposób możnaby porównać promienie R2 i R3. Ponieważ ta wersja dowodu nie została przeprowadzona, opisywanie okręgu o prom. R2 było zbędne.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 16 sty 2014, o 19:59 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Toż zadanie 24. to stare jak świat zadanie na translacje!
Przesuńmy wszystko o wektor \vec{AD}. Punkt P niech przejdzie na punkt P'. Wówczas punkty \angle P'PD=\angle ADP=\angle ABP=\angle DCP'. Stąd P,C,P',D leżą na jednym okręgu, więc:
\angle DAP=\angle PP'D=\angle DCP. Cbdo.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kąty w okręgu
PostNapisane: 16 sty 2014, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Włocławek
Fajna ta translacja, i jaka krótka ! Tylko skąd wiadomo, że ten \triangle ABP da się wpisać w okrąg opisany na trójkącie CDP ?
Żeby to udowodnić, trzeba przejść przez: albo okrąg opisany na \triangle BCP albo przez okrąg opisany na \triangle ADP.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kąty w okręgu - zadanie 3  Nethia  0
 Kąty w okręgu - zadanie 8  Bugmenot  1
 Kąty w okręgu - zadanie 7  hesive  2
 Kąty w okręgu  iceman2  2
 Kąty w okręgu - zadanie 4  Susanna  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl