szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2014, o 19:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 44
Lokalizacja: W-a
Proszę o pomoc z następującym zadaniem:

Wykaż, że liczba 3^{4n+2}+2^{6n+3} jest podzielna przez 17.

Doszedłem do postaci: 9^{2n+1}+8^{2n+1}, ale nie mam pojęcia, co z tym teraz zrobić.

Z góry dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2014, o 19:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17836
Lokalizacja: Cieszyn
Po studencku będzie pięknie: 9^{2n+1}+8^{2n+1}=17^{2n+1} i po sprawie. Ale to zbyt piękne, żeby było prawdziwe :) :) :) Dla formalności mówię, że ta równość oczywiście nie jest prawdziwa.

A teraz poprawnie: postaraj się jakoś rozłożyć to na czynniki używając wzorów skróconego mnożenia, może nie bezpośrednio. Sądzę, że indukcja nie będzie tu potrzebna (choć łatwa). Można też dzielić modulo 17. Może poprzestanę na wskazówkach, bo jakoś nie wydaje mi się, aby zależało Ci na gotowcu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2014, o 19:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 44
Lokalizacja: W-a
Oczywiście, że chcę sam pogłówkować :)

Postaram się to rozłożyć na czynniki w jakiś sposób.

P.S.
Co do dzielenia modulo. Byłbym niezmiernie wdzięczny, gdyby mógł Pan polecić źródło, z którego nauczyłbym się działań modulo. Wiem, że jest to ogromne ułatwienie przy wykazywaniu podzielności liczb itp. Zależałoby mi na dobrze wytłumaczonej teorii + przykłady.

Z góry dziękuję.

-- 24 sty 2014, o 21:25 --

Doszedłem do czegoś takiego:

Skoro (a+b)^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) itd.

To analogicznie:

9^{2n+1}+8^{2n+1}=(9+8)(9^{2n}-9^{2n-1}...+8^{2n})
Więc:

9^{2n+1}+8^{2n+1}=17(9^{2n}-9^{2n-1}...+8^{2n})

Czyli liczba 9^{2n+1}+8^{2n+1} jest podzielna przez 17.

Proszę o sprawdzenie. Jeżeli jest jakiś inny sposób, aby tego dowieść, prosiłbym o jego przedstawienie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2014, o 08:43 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
Dobrze. Nie licząc jednego mało ważnego aspektu. W drugim nawiasie powinieneś napisać:
\left( 9^{2n}-9^{2n-1} \cdot 8+9^{2n-2} \cdot 8^{2}+...+8^{2n}\right)
Mała pomyłka, czyli brak tej jednej ósemki, powoduje że suma napisana przez Ciebie w nawiasie jest niezrozumiała. Ale poza tym do niczego nie można się przyczepić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2014, o 08:04 
Użytkownik

Posty: 449
Lokalizacja: Warszawa
Espeqer napisał(a):
Doszedłem do postaci: 9^{2n+1}+8^{2n+1}, ale nie mam pojęcia, co z tym teraz zrobić.

Ja bym to pociągnął: \left( 9^2\right)^n  \cdot 9+\left( 8^2\right)^n  \cdot 8 \equiv 81^n \cdot 9+64^n \cdot 8 \equiv 13^n \cdot 9+13^n \cdot 8 \equiv 13^n\left( 9+8\right) \pmod{17}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl