szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2007, o 23:45 
Użytkownik

Posty: 579
Obliczyć taka całkę:
\int\limits_{L}y^2dl
gdzie L to pierwszy łuk cykloidy o równaniach:
x=a(t-Sin(t))
y=a(1-Cos(t))
Czyli zgodnie ze wzorem podstawiam i mam:
\int\limits_{0}^{2\pi}[{a(1-Cos(t))}^2*\sqrt{dx^2+dy^2}]dt
Pytanie: czy to jest dobrze?
licząc dalej wychodziła mi dziwna całka z którą nie wiedziałem za bardzo co zrobić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2007, o 06:12 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
Tak, jest OK.
Z moich wyliczeń wynika, że jeżeli trochę się poprzekształca to wyrażenie, to ładnie się uprości do:
8a^3 \int_0^{2\pi} \sin^5 \frac{t}{2} \,\mbox{d}t = \ldots
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2007, o 11:03 
Użytkownik

Posty: 579
Możesz to trochę rozpisać? ;)[/quote]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2007, o 11:33 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
dx = a(1 - \cos t) \quad dy = a \sin t\\
I = a^2 \int_0^{2 \pi}  (1-\cos t)^2 a \sqrt{(1 - \cos t)^2 + \sin^2 t} dt = a^3 \int_0^{2 \pi}  (1-\cos t)^2 \sqrt{1 - 2 \cos t + \cos^2 t + \sin^2 t} dt = \\
= a^3 \int_0^{2 \pi}  (1-\cos t)^2 \sqrt{2 - 2 \cos t } dt = a^3 \int_0^{2 \pi} 4 \sin^4 \frac{t}{2} \sqrt{4 \sin^2 \frac{t}{2}} dt = \ldots
Należy zauważyć, że:
1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2007, o 11:41 
Użytkownik

Posty: 579
Pod całą mamy iloczyn 2 składników. Przed jednym jest a^2, a przed drugim samo a. Jesteś pewien, że dobrze to przed całke wyłączyłeś?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2007, o 11:43 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
rObO87, mógłbyś dokładniej wskazać ten fragment?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2007, o 11:49 
Użytkownik

Posty: 579
\int_0^{2 \pi} a^2 (1-\cos t)^2a \sqrt{(1 - \cos t)^2 + \sin^2 t} dt
;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2007, o 11:56 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
Może tak:
y^2 = a^2 (1-\cos t)^2
\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{a^2 (1-\cos t)^2 + a^2 \sin^2 t} = \sqrt{a^2 \left( (1-\cos t)^2 + \sin^2 t \right) } = a \sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t }
Pasuje?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2007, o 12:00 
Użytkownik

Posty: 579
Czuje już to ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka krzywoliniowa nieskierowana  Barca  0
 całka krzywoliniowa nieskierowana - zadanie 3  w_krysia  2
 Całka krzywoliniowa nieskierowana - zadanie 4  Kubagwk  1
 całka krzywoliniowa nieskierowana - zadanie 5  Kubagwk  10
 całka krzywoliniowa nieskierowana - zadanie 7  adeptofvoltron  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl