szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lut 2014, o 22:36 
Użytkownik

Posty: 276
Lokalizacja: Kraków
Oblicz kąt nachylenia prostej l do płaszczyzny \pi (podaj cos \alpha):

l:  \frac{x-1}{2} =  \frac{y+3}{1} = \frac{z-1}{-2}

\pi : 3x + 4z -7 = 0

-- 2 lut 2014, o 21:40 --

Próbowałam znaleźć punkty prostej i z nich obliczyć wektor (który byłby równoległy do płaszczyzny, należał by do niej). Później z iloczynu skalarnego tego wektora i wektora prostej obliczyć ten cosinus... ale nie wychodzi...

Chciałam też znaleźć iloczyn wektorowy między wektorem prostej i wektorem płaszczyzny z postaci ogólnej. Iloczyn wektorowy da wektor prostopadły do płaszczyzny jaką tworzą i równocześnie równoległy do płaszczyzny wyjściowej... (ale chyba to złe rozumowanie...). Później chciałam liczyć skalarny tego wektora z iloczynu wektorowego i wektora prostej... no ale wychodzi, że są prostopadłe bo skalarny wychodzi 0...

Nie wiem jak mam się zabrać za to zadanie...

-- 2 lut 2014, o 22:18 --

Proszę o wskazówki lub przynajmniej wskazanie błędu w moim rozumowaniu...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2014, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Znajdź punkt przecięcia prostej i płaszczyzny, niech to będzie np. P. Na prostej wybierz jakikolwiek punkt, np. R i znajdź jego rzut prostopadły na płaszczyznę - oznaczmy go przez Q.
Szukany kąt, to będzie kąt między wektorami \vec{PQ} i \vec{PR} - a ten znajdziesz choćby z iloczynu skalarnego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2014, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 3467
Kątem nachylenia prostej do płaszczyzny nazywamy kąt ostry \phi, jaki ta prosta tworzy ze swoim rzutem na płaszczyznę.

\sin(\phi)= \frac{| 3\cdot 2+ 4\cdot 1+(-7)\cdot (-2)|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-7)^{2}}\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}= \frac{8}{\sqrt{74}}

cos(\phi)= \sqrt{1 -\frac{64}{74}}=\sqrt{\frac{10}{74}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2014, o 23:28 
Użytkownik

Posty: 164
Lokalizacja: Kraków
Wyznacz wektor kierunkowy prostej :u= [2,1,-2].
Wyznacz wektor normalny płaszczyzny:n= [3,0,4]
Oblicz kosinus kąta między tymi wktorami używając iloczynu skalarnego:
cos \beta = \frac{\left| u \cdot n\right| }{\left| u\right|\left| n\right|  }
cos \beta = \frac{ \left| 6-8 \right| }{ \sqrt{9} \sqrt{25}   }
cos \beta = \frac{2}{15}
Kąt szukany to taki kąt \alpha, który jest dopełnieniem kąta \beta do 90^0.
Więc : sin \alpha = \frac{2}{15}.
Pozdrawiam.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lut 2014, o 23:47 
Użytkownik

Posty: 276
Lokalizacja: Kraków
Marmat ale przecież ten cosinus nie będzie kątem między prostą a płaszczyzną, bo wektor normalny płaszczyzny jest do niej prostopadły, a nie równoległy...

Odpowiedź to: cos \alpha  = \frac{ \sqrt{221} }{15}

-- 2 lut 2014, o 22:55 --

chris_f napisał(a):
Znajdź punkt przecięcia prostej i płaszczyzny, niech to będzie np. P. Na prostej wybierz jakikolwiek punkt, np. R i znajdź jego rzut prostopadły na płaszczyznę - oznaczmy go przez Q.
Szukany kąt, to będzie kąt między wektorami \vec{PQ} i \vec{PR} - a ten znajdziesz choćby z iloczynu skalarnego.



Wyznaczyłam P= (1,0,1), punkt R = (3,-2,-1), a punkt Q = ( \frac{81}{25}, -2,  \frac{-17}{25}) (wyznaczyłam go: najpierw prosta przechodząca przez R i zawierająca wektor [3,0,4] i później punkt przecięcia tej prostej i płaszczyzny to ten szukany... Ale nie wychodzi mi ten wynik... gdzie jest błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2014, o 11:33 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Dla wygody równanie prostej l piszę w postaci parametrycznej
l:\begin{cases}x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=1-2t\end{cases}
\pi: 3x+4z-7=0
Szukam punktu P
3(1+2t)+4(1-2t)-7=0
-2t=0\Rightarrow t=0\Rightarrow P=(1,-3,1)
Punkt R wyznaczam wybierając dowolną wartość parametru, np. t=1, co daje punkt R=(3,-2,-1). Szukam prostej prostopadłej do \pi przechodzącej przez R, będzie miała równanie
k:\begin{cases}
x=3+3t\\ y=-2\\ z=-1+4t\end{cases}
Szukam punktu Q, będącego przecięciem prostej k i płaszczyzny \pi.
3(3+3t)+4(-1+4t)-7=0
25t-2=0
t=\frac{2}{25}\Rightarrow Q=\left(\frac{81}{25},-2,-\frac{17}{25}\right)
No i teraz wektory:
\vec{PQ}=\left[\frac{56}{25},1,-\frac{42}{25}\right]
\vec{PR}=\left[2,1,-2\right]
Długości wektorów:
|\vec{PQ}|=\sqrt{\frac{3136}{625}+\frac{625}{625}+\frac{1764}{625}}=
\sqrt{\frac{5525}{625}}=\sqrt{\frac{221}{25}}=\frac{\sqrt{221}}{5}
|\vec{PR}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3
Iloczyn skalarny"
\vec{PQ}\circ\vec{PR}=2\cdot\frac{56}{25}+1+2\cdot\frac{42}{25}=\frac{112+25+84}{25}=221
No i cosinus kąta
\cos\alpha=\frac{221}{3\cdot\frac{\sqrt{221}}{5}}=\frac{5\sqrt{221}}{3}
Nie wiem czemu, ale minimalnie różni się od podanego przez Ciebie wyniku, u mnie ta piątka wskoczyła do licznika, a w wyniku jest w mianowniku. Może gdzieś zrobiłem błąd rachunkowy.

W Twoich obliczeniach pomyliłaś się przy wyznaczaniu punktu P.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2014, o 12:02 
Użytkownik

Posty: 276
Lokalizacja: Kraków
Wszystko się zgodzi :) Zgubiłeś przy liczeniu skalarnego 25 w mianowniku.

BARDZO CI DZIĘKUJĘ :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 kąt nachylenia prostej do płaszczyzny  Damieux  1
 Równanie płaszczyzny stycznej - zadanie 5  Tetriando  1
 Wyznacz równanie prostej zawierającej ramię trójkąta  Kaktuss  2
 wyznaczyć równanie płaszczyzny - zadanie 6  johanneskate  6
 Równanie prostej - zadanie 76  RedSun92  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl