szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 lut 2014, o 12:15 
Użytkownik

Posty: 70
Lokalizacja: Kraków
Pewnie to dla Was banalne ale proszę o pomoc gdyż nie potrafię ustalić w jakich punktach przecinają się dwie figury.

z=\sqrt{4- x^{2}- y^{2}  } półsfera górna, punk zaczepienia (0,0,4)
z=-2+x^{2}+y^{2} paraboloida obrotowa, punkt zaczepienia (0,0,-2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2014, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Żeby to ustalić wystarczy rozwiązać układ równań złożony z tych dwóch figur. Z drugiego można wyliczyć, że x^2+y^2=z+2, podstawiamy do pierwszego i dostajemy
z=\sqrt{2-z}
z^2=2-z
z^2+z-2=0
\Delta=9\ z_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\ z_2=\frac{-1+3}{2}=1
Ponieważ rozważamy górną półsferę, to odrzucamy możliwość x=-2.
Otrzymujemy zatem, że szukane punkty leżą w płaszczyźnie z=1.
Podstawiają do drugiego otrzymamy
1=-2+x^2+y^2
x^2+y^2=3
A zatem ostatecznie dostajemy, że szukane punktu tworzą okrąg o promieniu \sqrt{3} leżący w płaszczyźnie z=1. Środek tego okręgu to punkt (0,0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2014, o 16:58 
Użytkownik

Posty: 70
Lokalizacja: Kraków
A jakbym teraz chciała wyrazić objętość powstałej bryły przy pomocy całki, to byłaby całka po jakim obszarze D?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2014, o 18:51 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Obszar D będzie rzutem tego okręgu na płaszczyznę Oxy, czyli w tej płaszczyźnie będzie opisany równaniem x^2+y^2=3. Tyle, że do całkowania wygodniej będzie przejść do współrzędnych biegunowych
\begin{cases}x=r\sqrt{3}\cos t\\ y=r\sqrt{3}\sin t\end{cases}\ 0\le r\le 1,0\le t\le 2\pi
Co więcej do obliczenia objętości warto podzielić bryłę na cztery części (takie same) biorąc t\in[0,\frac{\pi}{2}] (a otrzymany wynik pomnożyć przez 4 - będzie wygodniej się całkowało).
A całka powinna wyglądać mniej więcej tak:
\iint\limits_{D}\left[\sqrt{4-x^2-y^2}-(-2+x^2+y^2)\right]dxdy
czyli od "górnej" funkcji (półsfery) odejmujemy "dolną" (paraboloidę).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Punkt przecięcia się 3 płaszczyzn.  normandy  2
 odległość od dwóch prostych równoległych  adam9874  1
 znaleźć miejsce geometryczne punktów - zadanie 4  Domcia  1
 Oblicz pole części wspólnej figur  matematykapl  8
 Moduł z różnicy wartości funkcji w dwóch punktach.  chrumek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl