szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2014, o 16:46 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Kraków
Cześć,
treść zadania brzmi:

Mamy punkty: A(-1, 2, 5), B(-2, -2, 2), C(3, -1, 3), D(4, 1, -1),
a) wyznacz równanie płaszczyzny \pi przechodzącej przez punktu BCD
b) oblicz pole trójkąta ABC
c) oblicz objętość ostrosłupa ABCD
d) wyznacz równanie płaszczyzny równoległej do \pi = 4x-5y+2z+7 = 0 i przechodzącej przez punkt D

Moje rozwiązania:
a)
B = (-2, -2, 2), \vec{BC} =(5, 1, 1), \vec{BD} = (6, 3, -3)\\
\pi = B + \vec{BC}t + \vec{BD}s\\
\pi = \left\{\begin{matrix}
x= -2 +5t +6s\\ 
y = -2 + t + 3s\\ 
z = 2 + t -3s
\end{matrix}\right.

b) Wzór Herona? Czy może jest coś szybszego?

c) Jak najłatwiej to obliczyć?

d)
\vec{n} = (a, b, c) = (4, -5, 2) - wektor normalny płaszczyzny
\vec{m} = (2,2, 1) - wektor prostopadły do normalnego
2x + 2y +z + d = 0 - równanie płaszczyzny
d = -9 - po podstawieniu do równania punktu D

Czy mógłbym prosić o weryfikację rozwiązań i odpowiedź na pytania?
Z góry dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2014, o 10:30 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Cześć! :)

Rozwiązanie a) jest w porządku.

W przestrzeni prawdziwy jest wzór wektorowy na pole trójkąta, tak jak na płaszczyźnie. Zastosuj zatem w b) coś takiego: P=\frac{1}{2}\left\|\vec{AB}\times\vec{AC}\right\|.

W c) równie szybkie wydają się być dwie metody: równanie płaszczyzny ABC i odległość punktu D od niej (wysokość ostrosłupa opuszczona na ABC), pole trójkąta BCD (jako podstawy) i odległość punktu A od płaszczyzny BCD (wysokość opuszczona na BCD).

W d) wyznaczyłeś akurat równania płaszczyzny prostopadłej do \pi i przechodzącej przez D - płaszczyzny prostopadłe mają prostopadłe wektory normalne.
W przypadku płaszczyzn równoległych jest dużo prościej, bo wektory normalne są równe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2014, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Kraków
Dzięki za pomoc, już wpadłem jak to rozwiąząć :)

w podpunkcie c) skorzystałem ze wzoru V=\frac{1}{6}|(\vec{u}\vec{v}\vec{w})|

Znalazłem go w jakichś notatkach
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Wyznaczyć wart. param. dla których ukł. jest l. niezaleĹ  Anonymous  2
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl