szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2014, o 18:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Odwzorowania styczne tensorów

Rozważmy dwie dyfeomorficzne rozmaitości różniczkowe M,N. Niech \Phi:M \rightarrow N będzie dyfeomorfizmem. Zdefiniujmy odwzorowania:

Def.1 "Pull-back" funkcji
Niech f\in C^\infty(N), \ p\in M. Definiujemy odwzorowanie \Phi_*:
\Phi_*f(p):=f\left[\Phi(p)\right]
A więc \Phi_*=f\circ \Phi
Odwzorowanie to "cofa" funkcje z N na M.
\Phi_*:C^\infty(N) \rightarrow C^\infty(M)

Ćw.1. Odwzorowanie \Phi_* jest liniowe

Def.2 "Push-forward" wektorów
Definiujemy odwzorowanie:
\Phi^*|_p:T_pM \rightarrow T_{\Phi(p)}N \\ T_pM\ni \textbf{v}\longmapsto \Phi^*\textbf{v}\in T_{\Phi(p)}N \\ \left(\Phi^*\textbf{v}\right)f|_{\Phi(p)}:=\textbf{v}\left(\Phi_*f\right)|_p=\textbf{v}\left(f\circ\Phi\right)|_p

Odwzorowanie to jest oczywiście liniowe.

Ćw.2. Niech (U,\phi) będzie mapą w otoczeniu p, a (V,\psi) mapą w otoczeniu \Phi(p). Niech \phi(p)=(x^1,...,x^n) oraz \psi[\Phi(p)]=(y^1,...,y^n) oraz niech \left\{(\partial/ \partial x^i )|_p \right\} oraz \left\{(\partial/ \partial y^k )|_{\Phi(p)} \right\} będą bazami przestrzeni stycznych. Pokazać, że w tych bazach odwzorowanie \Phi^*|_p jest reprezentowane przez odwrotną macierz Jacobiego \Phi^*|_p=\left(\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\right)_p

Odwzorowanie \Phi^*|_p nazywamy stycznym.


Ćw.3. Odwzorowanie styczne \Phi^* przeprowadza wektory styczne do krzywych \gamma na M na wektory styczne do krzywych \Phi(\gamma) na N


Rozważmy teraz trzy rozmaitości dyfeomorficzne M,N,P. Niech \Phi:M \rightarrow N, \ \Psi: N \rightarrow P będą dyfoemorfizmami. Wtedy (\Psi\circ\Phi)^* =\Psi^*\circ\Phi^*
Dowód:
\left[(\Psi\circ\Phi)^*\textbf{v}\right]f|_{\Psi(\Phi(p))}=\textbf{v}\left[(\Psi\circ\Phi)_*f\right]|_p=\textbf{v}\left[f\circ\Psi\circ\Phi\right]_p=\textbf{v}\left[(f\circ\Psi)\circ\Phi\right]_p=\textbf{v}\left[\Phi_*(f\circ\Psi)\right]_p=\left(\Phi^*\textbf{v}\right)(f\circ\Psi)|_{\Phi(p)}=(\Phi^*\textbf{v})(\Psi_*f)|_{\Psi(p)}=\left[\Psi^*(\Phi^*\textbf{v})\right]f|_{\Psi(\Phi(p))}
Wobec dowolności f,\textbf{v} dostajemy tezę.
Powyższa własność oznacza, że pierwszy z poniższych diagramów generuje drugi:


\begin{tikzpicture}[node distance=4cm, auto]
  \node (M) {$M$};
  \node (N) [right of=M] {$N$};
  \node (P) [node distance=2cm, right of=M, below of=M] {$P$};
  \draw[->] (M) to node {$\Phi  $} (N);
  \draw[->] (M) to node [swap]{$ \Psi  \circ\Phi$} (P);
  \draw[->] (N) to node {$\Psi$}(P);
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}[node distance=4cm, auto]
  \node (M) {$T_pM$};
  \node (N) [right of=M] {$T_{\Phi(p)}N$};
  \node (P) [node distance=2cm, right of=M, below of=M] {$T_{\Psi\left(\Phi(p)\right)}P$};
  \draw[->] (M) to node {$\Phi_p^*  $} (N);
  \draw[->] (M) to node [swap]{$ \Psi^*|_{\Phi(p)}  \circ\Phi_p^*$} (P);
  \draw[->] (N) to node {$\Psi^*|_{\Phi(p)}$}(P);
\end{tikzpicture}

Jeśli p przebiega całą rozmaitość to analogiczne diagramy dostajemy dla wiązek stycznych,a odwzorowanie to oznaczamy d\Phi i nazywamy różniczką odwzorowania \Phi

Ćw.3. W odwzorowaniu \Phi^* obraz komutatora jest komutatorem obrazów, tj. \Phi^*[\textbf{u},\textbf{v}]=[\Phi^*\textbf{u},\Phi^*\textbf{v}]

Def.3 "Pull-back" dla kowektorów
\Phi_*:T_{\Phi(p)}^*N \ni \omega  \rightarrow \Phi_*\omega\in T_{p}^*M \\ \textbf{v}\in T_p M \Rightarrow \langle\Phi_*\omega,\textbf{v}\rangle_p:=\langle\omega,\Phi^*\textbf{v}\rangle_{\Phi(p)}
Łatwo pokazać, że odwzorowanie styczne dla kowektorów \Phi_* ma tę samą reprezentację macierzową co odwzorowanie styczne dla wektorów \Phi^*

Ćw.4. Niech df będzie gradientem funkcji gładkiej. Wtedy zachodzi \Phi_*(df)=d(\Phi_*f)=d(f\circ\Phi), tj. mamy przemienność \Phi_*d=d\Phi_*

Def.4 Odzworowania \Phi_*, \ \Phi^* dla tensorów
Jeśli T jest tensorem typu (r,0) na M to definiujemy:
\left(\Phi^*T\right)\left(\omega_1,...,\omega_r\right)|_{\Phi(p)}:=T\left(\Phi_*\omega_1,...,\Phi_*\omega_r\right)|_{p}, gdzie \omega_i\in T_{\Phi(p)}^*N

W bazie współrzędnych tensor ma składowe:

\left(\Phi^*T\right)^{i_1...i_r}|_{\Phi(p)}= \frac{\partial y^{i_1}}{\partial x^{k_1}}...\frac{\partial y^{i_r}}{\partial x^{k_r}}T^{k_1...k_r}|_p

Podobnie dla tensora T=T_{i_1...i_s}dx^{i_1}\otimes...\otimes dx^{i_s} na N definiujemy:
\left(\Phi_*T\right)\left(\textbf{v}_1,...,\textbf{v}_s\right)|_p:=T\left(\Phi^*\textbf{v}_1,...,\Phi^*\textbf{v}_s\right)|_{\Phi(p)}, gdzie \textbf{v}_i\in T_pM

Wiemy, że \Phi jest dyfeomorfizmem, zatem \Phi^{-1} też nim jest. Dzięki temu możemy zdefiniować powyższe odwzorowania dla dowolnych tensorów.
Niech \omega_1,...,\omega_r będą kowektorami na N a \textbf{v}_1,...,\textbf{v}_s wektorami na N. Niech T=T^{i_1...i_r}_{ \ \ \ \ \ j_1...j_s} \frac{\partial}{\partial x^{i_1}}\otimes...\otimes\frac{\partial }{\partial x^{i_r}}\otimes dx^{j_1}\otimes...\otimes dx^{j_s} będzie tensorem na M. Odwzorowanie \Phi^* przyporządkowuje mu tensor \Phi^*T, którego działania na dowolne wektory i kowektory na N dane jest zależnością:
\left(\Phi^*T\right)\left(\omega_1,...,\omega_r,\textbf{v}_1,...,\textbf{v}_s\right)|_{\Phi(p)}=T\left(\Phi_*\omega_1,...,\Phi_*\omega_r,\left(\Phi^{-1}\right)^*\textbf{v}_1,...,\left(\Phi^{-1}\right)^*\textbf{v}_s\right)|_p

Analogicznie definujemy \Phi_*T. Na M mamy kowektory \omega_1,...,\omega_r i wektory \textbf{v}_1,...,\textbf{v}_s. Dowolnemu tensorowi T na N przyporządkowujemy tensor \Phi_*T na M taki, że:
\left(\Phi_*T\right)\left(\omega_1,...,\omega_r,\textbf{v}_1,...,\textbf{v}_s\right)|_{p}=T\left(\left(\Phi^{-1}\right)_*\omega_1,...,\left(\Phi^{-1}\right)_*\omega_r,\Phi^*\textbf{v}_1,...,\Phi^*\textbf{v}_s\right)|_{\Phi(p)}

Ćw.5. Pokazać, że dla dowolnego tensora macierz odwzorowania \Phi_* jest odwrotna do macierzy odwzorowania \Phi^*

Ćw.6. Odwzorowanie styczne zachowuje iloczyn tensorowy.


Źródło:
(1) J.Gancarzewicz "Zarys współczesnej geometrii różniczkowej"
(2) L.Sokołowski "Elementy analizy tensorowej"
(3) W.Wojtyński "Grupy i algebry Liego"
(4) J.M.Lee "Introduction to Smooth Manifolds"

\hline
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Elipsoida i płaszczyzny styczne  Katoneo  0
 2 okregi, dla jakiego m sa styczne  lobuziak  1
 [Planimetria] styczne + czworokąt w okręgu  limes123  5
 norma odwzorowania - zadanie 3  mmarry  2
 styczne do okręgu, znaleźć równanie  Lord_W  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl