szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lut 2014, o 19:55 
Użytkownik

Posty: 5
Witam wszystkich. Mam problem z dwoma zadaniami z listy zadań dotyczącej zastosowania twierdzenia Cevy i Menelausa.

101. Dany jest trójkąt ABC. Punkty L, Z leżą na boku BC, punkty M, X leżą na boku CA, punkty K, Y leżą na boku AB, przy czym AB || MZ, BC || KX, CA || LY (rys. 101). Dowieść, że proste KX, LY i MZ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

\frac{AY}{YK}\cdot\frac{BZ}{ZL}\cdot\frac{CX}{XM}= 1.

102. Dany jest trójkąt nierównoramienny ABC. Dwusieczne kątów CAB, ABC i BCA przecinają boki BC, CA i AB odpowiednio w punktach D, E, F. Symetralne odcinków AD, BE, CF przecinają proste BC, CA, AB odpowiednio w punktach X, Y, Z. Z. Dowieść, że punkty X, Y , Z leżą na jednej prostej.

Dorzucam plik oryginalny pdf, są w nim ilustracje do zadań)
Chodzi o zadania 101 i 102 ze strony 21:

http://matma.ilo.pl/images/pompe.pdf
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lut 2014, o 20:40 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Gdańsk
101:
Niech X' to przecięcie KX i LM, Y' to przecięcie LY i KM oraz Z' to przecięcie MZ i KL. Teraz wystarczy popatrzeć na trójkąt KLM, rozpisać dla niego twierdzenie Cevy i następnie trzy razy skorzystać z twierdzenia Talesa.

-- 21 lut 2014, o 22:31 --

102:
Załóżmy sobie, że symetralna BF przecina prostą AB po stronie punktu A (tzn. AZ < BZ).
Poprowadźmy prostą prostopadłą do CF w punkcie C, która przetnie prostą AB w punkcie Z'.
Zauważamy, że \frac{AZ'}{BZ'} = \frac{AF}{BF} (możemy to zrobić np. z dwustosunku albo z twierdzenia o dwusiecznej połączonej z twierdzeniem o dwusiecznej zewnętrznej).
Teraz korzystamy z tego związku i tego, że AZ' = FZ' - AF i BZ' = FZ' - BF i możemy wyliczyć FZ' = \frac{2AF\cdot BF}{BF - AF}.
Z twierdzenia Talesa FZ = \frac{FZ'}{2} = \frac{AF\cdot BF}{BF - AF}, zatem
AZ = FZ - AF = \frac{AF^2}{BF-AF} i BZ = FZ + BF = \frac{BF^2}{BF-AF}, czyli \frac{AZ}{BZ} = \frac{AF^2}{BF^2}.
Teraz wyprowadzamy analogiczne związki dla X i Y, mnożymy wszystko i korzystamy z tego, że AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie :)
Pozdrawiam.

-- 21 lut 2014, o 22:33 --

PS: Dziękuję za dwa fajne zadanka przed drugim dniem II etapu OMa ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2014, o 01:18 
Użytkownik

Posty: 5
To ja dziękuję bardzo za rozwiązania. Prześledziłem je- wg. mnie są jak najbardziej ok. Jeszcze raz dzięki. Pierwsze zadanie- aż się dziwię że nie zrobiłem, ale wiem gdzie był mój błąd- może to zmęczenie, bo od paru dni nic innego tylko geometria ( która nie jest moją najmocniejszą stroną). Ale za to drugie zadanie- szacun, ja bym na to nie wpadł. Wprowadziłem tyle dodatkowych punktów w swoim rozwiązaniu- potrzebowałem tylu prostych Cevy, a każde z nich były coraz to trudniejsze w kwestii pokazania współpękowości.
Pozdrawiam serdecznie i życzę powodzenia na konkursie :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Twierdzenie Pitagorasa - przeciwprostokątna  piotrek1200  2
 Twierdzenie talesa - zadanie 53  Blessed  1
 Twierdzenie Talesa 3 przykłady problem z dwoma  Bahamut452  7
 Twierdzenie cosinusów.  Lolitka  2
 Twierdzenie sinusów i kosinusów  pelas_91  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl