szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2014, o 20:11 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Zielona Góra
Witam. Staram się zrozumieć w jaki sposób zera trywialne dla funkcji dzeta to liczby ujemne parzyste, gdzie wyjaśnienie to:
19658.htm
Skoro i tak sprawdzając przez podstawienie np. -2 wychodzi suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych.
Proszę o jasne wytłumaczenie, bez kąśliwych uwag.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2014, o 20:25 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Pewnie chodzi Ci o wzór \zeta(s) =  \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{s}}
Ten wzór opisuje tylko tę mniej ciekawą część dziedziny, taką że Re(s) > 1
bardziej skomplikowane wzory na opisanie całej dziedziny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2014, o 20:40 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Zielona Góra
jarek4700 napisał(a):
Pewnie chodzi Ci o wzór \zeta(s) =  \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{s}}
Ten wzór opisuje tylko tę mniej ciekawą część dziedziny, taką że Re(s) > 1
bardziej skomplikowane wzory na opisanie całej dziedziny.

A co to ma do zer trywialnych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2014, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
No zera trywialne są liczbami ujemnymi więc nie można ich podstawiać do tego prostego wzoru.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2014, o 21:15 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Zielona Góra
jarek4700 napisał(a):
No zera trywialne są liczbami ujemnymi więc nie można ich podstawiać do tego prostego wzoru.

To do jakiego wzoru.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2014, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
\zeta \left( s \right)  = 2 ^{s} \pi ^{s-1} \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) \Gamma \left( 1-s \right) \zeta \left( 1-s \right)
Chociaż też nie do końca bo dla zer trywialnych \Gamma \left( 1-s \right) nie istnieje.
Myślę że przyjęto wartość zerową dla tych punktów ze względu na wartość granicy w tych punktach dla powyższego wzoru. W ten sposób zostały niejako załatane "dziury" a funkcja została w tych punktach ciągła.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2014, o 22:19 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Zielona Góra
Nadal nie rozumiem czemu po sprawdzeniu przez podstawienie suma jest nieskończona.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2014, o 22:29 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Mówisz o tej sumie \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{s}} ?
Po prostu ten wzór opisuje tylko kawałek funkcji zeta Riemanna (najmniej ciekawy zresztą).

Poczytaj sobie książkę "Prime Obsession".
Zostało tam to wyjaśnione na przykładzie funckji S\left( x\right)  = \frac{1}{1-x}

Równie dobrze funkcję tę można opisać wzorem: S\left( x\right)  =  \sum_{k=0}^{ \infty } x ^{k}
No ale to działa tylko dla \left| x\right| <1
Podobnie ma się rzecz z zetą Riemanna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lut 2014, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Zielona Góra
jarek4700 napisał(a):
No zera trywialne są liczbami ujemnymi więc nie można ich podstawiać do tego prostego wzoru.

Dlaczego dla dodatnich liczb całkowitych stosuje się ten wzór dla liczb o części rzeczywistej większej od jeden, a dla ujemnych całkowitych ten drugi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lut 2014, o 20:44 
Użytkownik

Posty: 1446
Lokalizacja: Sosnowiec
Podejrzewam, że dla liczb dla których Re(s)>1 wartości tych wzorów są równe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lut 2014, o 23:15 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Zauważcie że wzór ten aby podać \zeta(s) potrzebuje \zeta(1-s)
Ogólnie to taki sposób na poszerzenie dziedziny.
Najpierw trzeba zauważyć że \zeta(s)=(1-2^{1-s})\eta(s)
gdzie \eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{s}}
Tak się składa że ten szereg jest zbieżny już dla Re(s)>0 więc już jest trochę poszerzona dziedzina.
Żeby to rozszerzyć jeszcze bardziej Riemann ułożył równanie funkcyjne. Zauważył że oś Re(s)=\frac{1}{2} jest pewną szczególną prostą (jakby symetrii tylko że wartości w równoodległych punktach nie są równe lecz określone bardziej skomplikowaną zależnością).
To już rozszerza dziedzinę na wszystkie liczby zespolone oprócz jedynki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2015, o 01:04 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Wrocław
może troszkę odgrzewam temat, ale :

1.
to powinno WIELE wyjaśnić autorowi wątku :
https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo
(cały kanał na YT Numberphile godny uwagi)

oraz to :

2.
https://www.math.purdue.edu/~branges/proof-riemann.pdf

Jest to KOLEJNA próba dowodu Twierdzenia Riemanna przez Louis'a de Branges.
Ten pan walczy z nią całe życie ... ;) Dowód pojawił się 18 maja 2015 - akurat tego dnia tam zajrzałem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl