szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 18:05 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Warszawa
Kąty w trójkącie mają miary x, 2x, 4x. Udowodnij, że długości boków spełniają równość \frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 18:15 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
No na pewno twierdzenie sinusów i korzystanie ze wzorów na sinus kąta podwojonego.
\frac{a}{\sin x}=\frac{b}{\sin 2x}\\
\frac{a}{\sin x}=\frac{c}{\sin 4x}
Wyznacz b,c, a następnie oblicz \frac{1}{b}+\frac{1}{c}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 18:38 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Warszawa
Wychodzi mi \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} \cdot   \frac{4( \cos  \alpha )^{2}-1}{4  \cos  \alpha   \cos 2 \alpha } I nie wiem co dalej z tym drugim ulamkiem który musi być 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 20:03 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
No i dalej nie pójdzie.
Pewnie trzeba by jeszcze skorzystać z tego, że:
\cos 6\alpha=\cos \left( \pi-\alpha\right) \\
\cos 6\alpha=-\cos \alpha
(Suma katów musi byc równa \pi)
Ale tu bardzo dużo rachunków trzeba, by doprowadzić do prostszego wzoru. Chyba, że ma ktoś lepszy pomysł.
Edit; chyba będzie lepiej jak będziesz kombinował z tym:
\sin 3\alpha=\sin 4\alpha
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 20:29 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Wyliczamy x=\frac{\pi}{7}
Z twierdzenia sinusów:
\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2R\sin\frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{2R\sin\frac{4\pi}{7}}=\frac{1}{2R} \cdot \frac{\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}}{\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7}}=\frac{1}{2R}\cdot \frac{2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}}{\cos\frac{3\pi}{7}\cdot 2 \cdot \sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}}=\frac{1}{2R\sin\frac{\pi}{7}}=\frac{1}{a} \square
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 24 lut 2014, o 20:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1366
Lokalizacja: Katowice
inny, efektowny sposób: wpiszmy siedmiokąt foremny o boku a w okrąg, wtedy przekątne mają długości b i c

z twierdzenia Ptolemeusza dla jakiegoś tam czworokąta dostanie się, że bc=ca+ab, dzielimy przez abc i wychodzi to co ma wyjść
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 5269
Lokalizacja: Staszów
Skąd wynika ta równość?
Jeżeli b \ i \ c są przekątnymi czworoboku na którym opisano okrąg zaś a bokiem tego siedmiokąta, to prawa strona nie równa jest lewej co widać na poniższym obrazku, nawet nie zbyt dokładnym, ale różnica jest widoczna.
Załącznik:
Bez tytułu 7-kąt.png
Bez tytułu 7-kąt.png [ 53.35 KiB | Przeglądane 201 razy ]
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 24 lut 2014, o 22:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1366
Lokalizacja: Katowice
dokładniej: jeśli ten siedmiokąt nazywa się ABCD EFG, to AB=BC=a, AC=CE=b, EA=EB=c i z twierdzenia Ptolemeusza zastosowanego do ABCE mamy bc=ca+ab
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 23:16 
Użytkownik

Posty: 5269
Lokalizacja: Staszów
Teraz widać.
Czasami warto coś narysować.
W.Kr.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykazanie równości - zadanie 16  darek20  1
 wykazanie równości - zadanie 23  darek20  1
 wykazanie równości - zadanie 18  darek20  1
 wykazanie równości - zadanie 22  darek20  1
 wykazanie równości  robin5hood  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl