szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Warszawa
Witam.
Mam takie zadanie.

Wykaż za pomocą indukcji matematyczniej, że
\wedge n \in N \sum_{k=1}^{n}  \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Pierwszy krok jest chyba oczywisty. Dla n=1 mamy po lewej \frac{1}{(2\cdot1-1)(2\cdot1+1)}=\frac{1}{1\cdot3}=\frac13, a po prawej wychodzi to od razu.
W drugim kroku zakładamy, że ta nierówność zachodzi dla pewnego n. Pozostaje sprawdzić, czy przy tym założeniu
\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n+1}{2(n+1)+1}
Lewą stronę rozpisz jako
\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}
Za pierwszy składnik podstaw z założenia indukcyjnego i dalej tylko wykonywanie działań, wspólny mianownik i powinno wyjść to co po prawej. Czysta zabawa rachunkowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 21:56 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Warszawa
Czyli za k i n mam podstawić 1 czy jak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2014, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
O rany. Czy wiesz na czym polega indukcja matematyczna? Poczytaj trochę na ten temat.
W pierwszym kroku napisałem Ci sprawdzenie, że równość jest prawdziwa dla n=1.
Następnie zakładamy (to jest drugi krok), że ta równość jest prawdziwa dla pewnego n, czyli prawdą jest, że
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}
Trzeba teraz udowodnić, że ta równość jest prawdziwa dla n+1.
Zapisałem Ci ją i rozpisałem lewą stronę.
Teraz w tej rozpisce za pierwszy składnik, czyli
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}
podstawiasz prawą stronę z założenia.
Dostaniesz już wyrażenie zawierające tylko i wyłącznie n.
Teraz już tylko przekształcasz tę lewą stronę tak długo aż dostaniesz to samo co po prawej.
Nie wymaga to niczego, poza wykonywaniem działań algebraicznych i sprowadzaniem do wspólnego mianownika.
Wybacz, ale nie będę się takimi rzeczami bawił. Skoro chcesz zajmować się indukcją, to takie rzeczy musisz mieć opanowane.
Może najpierw poćwicz na prostszych przykładach.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja matematyczna - zadanie 29  magda_5  3
 indukcja matematyczna - zadanie 3  bonitka  2
 indukcja matematyczna - zadanie 23  kalik  1
 Indukcja matematyczna - zadanie 67  kosciuszkobest  3
 indukcja matematyczna  pandaboy  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl