szukanie zaawansowane
 [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2014, o 09:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Nauczyciel na wykładzie zaprezentował funkcję, która dla liczb wymiernych przyjmuje 0, a dla niewymiernych 1 i powiedział, że ta funkcja jest ciągła. Jest to dla mnie niezrozumiałe, bo funkcja ciągła, dla której dziedziną są liczby rzeczywiste, kojarzy mi się tak, że jej wykres jest nieprzerwaną prostą, łamaną, krzywą, łukiem, czymkolwiek, jednak nieprzerwanym. A wykres tej funkcji to niepołączone ze sobą punkty. Czy fakt, że przeciwdziedzina to tylko 0 i 1, ma coś tu do rzeczy? Czy ta funkcja ma jakąś nazwę? Napiszcie mi coś ciekawego o niej ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2014, o 09:30 
Użytkownik

Posty: 2044
Lokalizacja: Warszawa
Jest to funkcja Dirichleta. Poczytaj o niej np. tu: http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_Dirichleta. Cytuję z tego źródła:

Funkcja ta ma szczególne własności:

• jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny), w szczególności, nie jest różniczkowalna,
• jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego,
• zbiór jej ekstremów jest mocy continuum,
• nie jest całkowalna w sensie Riemanna – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje,
• jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, przy czym jej całka Lebesgue'a na dowolnym przedziale jest równa zeru, ponieważ zbiór liczb wymiernych jest miary Lebesgue'a zero.

:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2014, o 09:46 
Użytkownik

Posty: 13583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ale jak już dotarłeś do takich dziwnych funkcji, to popatrz na takie coś:
f(x)=\begin{cases}0 & x\not\in \QQ\\ \frac{1}{m} & x=\frac{k}{m}, NWD(k,m)=1\end{cases}.

ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2014, o 11:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Dilectus napisał(a):
• jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny), w szczególności, nie jest różniczkowalna,

Musiałem coś porąbać, tzn. źle zapamiętać. Ale teraz rodzi się nowe pytanie! Jak funkcja może być okresowa, nie mając okresu podstawowego i mając nieskończenie wiele okresów? Zresztą chyba nie znam żadnej funkcji, która ma więcej niż jeden okres i niezbyt rozumiem o co w tym chodzi, jak by to miało na wykresie wyglądać. A poczytam o niej później i jeszcze napiszę jakieś pytania, jeśli będę miał ;p

@a4karo
NWD to największy wspólny dzielnik, tak? Dobrze rozumiem, że dla 2 wartość funkcji to 1 (x=2, k=2, m=1)? I dla 3 tak samo? Chyba źle rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2014, o 14:08 
Gość Specjalny

Posty: 3011
Lokalizacja: Gołąb
Cytuj:
Jak funkcja może być okresowa, nie mając okresu podstawowego i mając nieskończenie wiele okresów? Zresztą chyba nie znam żadnej funkcji, która ma więcej niż jeden okres i niezbyt rozumiem o co w tym chodzi, jak by to miało na wykresie wyglądać.

Funkcja f jest okresowa, jeśli istnieje liczba T>0 i dla każdego x z dziedziny funkcji zachodzi równość: f\left( x+T\right)=f\left( x\right)
Liczbę T spełniającą powyższy warunek nazywamy okresem funkcji.

Twierdzenie:
Każda funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów.
Dowód:
Funkcja jest okresowa więc posiada jakiś okres T>0. Wówczas łatwo przez indukcję pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba nT także jest okresem tej funkcji. Stąd wynika teza twierdzenia.

Zatem tak naprawdę każda funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów.

Def: Okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji okresowej nazywamy najmniejszy z jej okresów (jeżeli taki istnieje).

W kontekście tych faktów funkcja Dirichleta jest oczywiście okresowa, a jej okresem jest oczywiście każda liczba wymierna.
Dowód:
Niech f będzie funkcją Dirichleta. Niech q będzie dowolną liczbą wymierną. Weźmy najpierw dowolny x \in \QQ. Mamy oczywiście: f\left( x+q\right) =1=f\left( x\right) (suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna). Jeśli zaś x \in \RR \setminus \QQ to także f\left( x+q\right) =0=f\left( x\right) (bo suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna).
Zatem ostatecznie dla każdego x \in \RR i dla dowolnej liczby wymiernej q zachodzi f\left( x+q\right) =f\left( x\right)


Funkcja Dirichleta nie posiada okresu podstawowego (bo nie istnieje najmniejsza liczba wymierna dodatnia). Podobnie na przykład każda funkcja stała jest okresowa, jej okresem jest dowolna liczba rzeczywista dodatnia, ale funkcja ta nie posiada okresu podstawowego (okres musi być dodatni, a nie istnieje przecież najmniejsza liczba rzeczywista dodatnia).

Jeśli masz jakieś jeszcze pytania to śmiało pisz, postaram się wyjaśnić :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2014, o 14:14 
Użytkownik

Posty: 13583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tak. Przedstawiasz wymierne x w postaci nieskracalnej \frac{k}{m} i kładziesz f(x)=\frac{1}{m}. Np. f(\frac{5}{2})=\frac{1}{2}, f(\frac{72}{9})=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2014, o 20:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
bakala12 napisał(a):
W kontekście tych faktów funkcja Dirichleta jest oczywiście okresowa, a jej okresem jest oczywiście każda liczba wymierna.
Dowód:
Niech f będzie funkcją Dirichleta. Niech q będzie dowolną liczbą wymierną. Weźmy najpierw dowolny x \in \QQ. Mamy oczywiście: f\left( x+q\right) =1=f\left( x\right) (suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna). Jeśli zaś x \in \RR \setminus \QQ to także f\left( x+q\right) =0=f\left( x\right) (bo suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna).
Zatem ostatecznie dla każdego x \in \RR i dla dowolnej liczby wymiernej q zachodzi f\left( x+q\right) =f\left( x\right)


Funkcja Dirichleta nie posiada okresu podstawowego (bo nie istnieje najmniejsza liczba wymierna dodatnia). Podobnie na przykład każda funkcja stała jest okresowa, jej okresem jest dowolna liczba rzeczywista dodatnia, ale funkcja ta nie posiada okresu podstawowego (okres musi być dodatni, a nie istnieje przecież najmniejsza liczba rzeczywista dodatnia).

Super sprytne! I nawet zrozumiałem po chwili namysłu. Kurczę, matematyka jest wspaniała. Dziękuję.

@a4karo
Czyli jednak :D No to ciekawie. Dziękuję za przykład.
PS
Cytuj:
ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym

Ale w niektórych wymiernych również, prawda?
A czy to prawda, że każda liczba niewymierna jest okresem tej funkcji? Jeśli tak, to rozumiem dlaczego. Jeśli nie, to nie rozumiem dlaczego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2014, o 21:06 
Gość Specjalny

Posty: 3011
Lokalizacja: Gołąb
Cytuj:
Ale w niektórych wymiernych również, prawda?

Cytuj:
A czy to prawda, że każda liczba niewymierna jest okresem tej funkcji? Jeśli tak, to rozumiem dlaczego. Jeśli nie, to nie rozumiem dlaczego.

Na te pytania nie odpowiem dopóki a4karo nie poprawi swojej funkcji tak, żeby była jednoznacznie określona w punkcie x=0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2014, o 21:52 
Użytkownik

Posty: 13583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Oj, to prawda :). Ona w zerze ma wartość zero. W ten sposób jest nieciągła w każdym punkcie wymiernym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2014, o 22:42 
Gość Specjalny

Posty: 3011
Lokalizacja: Gołąb
Cytuj:
Ona w zerze ma wartość zero. W ten sposób jest nieciągła w każdym punkcie wymiernym.

W x=0 jest ciągła :) Ale w pozostałych punktach wymiernych jest już nieciągła tak, jak mówisz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2014, o 07:35 
Użytkownik

Posty: 13583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Aj, bo napisałem 0, a chciałem napisać 1. Trudno, wtopiłem. Jest jeszcze jedna nieścisłość w mojej definicji. Żeby doprecyzować, ustalmy, że m>0.
A zatem pełna definicja;

f(x)=\begin{cases}0 & x\not\in \QQ\\
1 & x=0\\
1/m & x=k/m, (k,m)=1, m>0, n,m\in\ZZ\end{cases}

Gdyby jakaś liczba niewymierna r była jej okresem, to przy dowolnym wymiernym w mielibyśmy f(w)=f(w+r). Ale w+r jest niewymierne, więc...

f jest jednak funkcją okresową i nawet ma okres podstawowy. Poszukaj go :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2014, o 09:11 
Użytkownik

Posty: 2044
Lokalizacja: Warszawa
Cytuj:
f jest jednak funkcją okresową i nawet ma okres podstawowy. Poszukaj go :)


Moja nieśmiała propozycja: T=1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2014, o 09:15 
Użytkownik

Posty: 13583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie dla musialmi: udowodnij, że T=1 jest okresem podstawowym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2014, o 10:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Nie sądzę, że umiem to udowodnić. Dla każdego x całkowitego (zarówno dodatniego, jak i ujemnego) k=x, m=1. Zatem dla całkowitych x istnieje zależność f\left( x\right)=f\left( x+1\right)=f\left( x+T\right) (f\left( 0\right)=1 z definicji).

Dla x wymiernych f\left( x\right)= \frac{1}{m}. Zakładając, że 1 jest okresem, to f\left( x+1\right)=\frac{1}{m}. Zatem f\left( \frac{k}{m}\right) =f\left( x\right)=f\left( x+1\right)=f\left( \frac{k+m}{m}\right). Zatem f\left(  \frac{k}{m} \right)=f\left(  \frac{k+m}{m} \right)  = \frac{1}{m}. I rzeczywiście tak jest.

Dla x niewymiernych funkcja przyjmuje wartość 0. W każdym przedziale \left( x; x+a\right) dla a \in \mathbb{R_+} jest tyle samo liczb niewymiernych. Zatem każda liczba jest okresem dla takiego przypadku.

W takim razie, 1 jest okresem. No i teraz w temacie tego, że jest okresem PODSTAWOWYM. Jeśli istniałby mniejszy okres, to musiałby należeć do przedziału \left( 0;1\right) oraz być prezentowalnym w postaci \frac{1}{2^{n}}, żeby spełniał warunek z pierwszego akapitu. No i zapewne ta postać koliduje jakoś z warunkiem z drugiego akapitu. Ale nie wiem jak i dlaczego.

No i oprócz tego problemu na samym końcu, nie wiem czy pozostałe dowody są w porządku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2014, o 10:33 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Przydatny jest też następujacy fakt:

Zbiór punktów ciągłości funkcji f jest zbiorem typu G_{\delta}. Zbiór punktów nieciągłości tej funkcji jest zbiorem F_{\sigma}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl