szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2014, o 18:51 
Użytkownik

Posty: 941
Witam. Mam pytanie co do takiego dowodu.

Udowodnić, że a \mid c  \wedge b \mid c  \Rightarrow NWW(a,b) \mid c.

To jest dla mnie oczywiste, ale nie umiem tego ładnie pokazać, doprowadzić do tego. Próbowałem wieloma sposobami ,starałem się z definicji podzielności i NWW, coś wywnioskować i jakoś nie specjalnie mi się udało to wszystko zebrać w całość, ktoś pomoże?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2014, o 19:14 
Użytkownik

Posty: 314
Lokalizacja: Puławy
a = p_{1}^{\alpha _{1}} \cdot p_{2}^{\alpha _{2}}... \\ \\
b= p_{1}^{\beta _{1}} \cdot p_{2}^{\beta _{2}}... \\ \\
NWW(a,b)=p_{1}^{\max (\alpha _{1},\beta _{1})} \cdot p_{2}^{\max (\alpha _{2},\beta _{2})}...\\ \\
c=p_{1}^{\gamma_{1}} \cdot p_{2}^{\gamma_{2}}...\\ \\
\gamma_{k} \ge \max (\alpha _{k},\beta _{k}) \\
Ostatnia nierówność wynika z tego, że c jest wielokrotnością danych liczb ;p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2014, o 19:25 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnij najpierw:
\left( a, \ b\right)=1 \wedge a \mid c \wedge b \mid c \Rightarrow ab \mid c
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2014, o 20:32 
Użytkownik

Posty: 941
Mam głupie pytanie
Co znaczy: \left( a, \ b\right)=1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2014, o 20:34 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
NWD\left( a,b\right)=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2014, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 941
Hmmm \left( a, \ b\right)=1 \wedge a \mid c \wedge b \mid c \Rightarrow ab \mid c
WIęc tak:
a \mid c \Rightarrow \exists \   n_{1} \in \ZZ \ c=n_{1}a \\
b \mid c \Rightarrow \exists \   n_{2} \in \ZZ \ c=n_{2}b \\
NWD(a,b)=1 \Rightarrow c=1 \Rightarrow c^2=n_{1}n_{2}ab \Rightarrow 1=kab \Rightarrow  ab \mid 1 \Rightarrow ab\mid c

Mam to, tylko nie bardzo widzę związek tego z moim zdaniem. Znaczy wiem, że NWD(a,b) \cdot NWW (a;b) = ab, ale nie wiem czy to mam tu wykorzystać jakoś, poza tym my chyba rozpatrywaliśmy póki co przykład dla liczb pierwszych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2014, o 21:20 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Spójrz na to co udowodniłeś i przyjrzyj się absurdom które "udowodniłeś" przy okazji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2014, o 21:31 
Użytkownik

Posty: 941
No na końcu jest odpowiedź do zadania, bo : ab=NWW(a,b) jeśli oczywiście są to liczby pierwsze. Jeśli dobrze myślę, ale co jeśli nie są pierwsze. Mam zaćmienie i tego nie czuję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2014, o 21:47 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Nie pierwsze tylko względnie pierwsze. Potem przejdziemy do wykorzystania tego do udowodnienia zasadniczej tezy. Tymczasem:
Dowód który przeprowadziłeś jest absurdalny. Udowodniłeś, że każda wspólna wielokrotność dwóch liczb względnie pierwszych jest równa 1. Przecież to absolutnie bez sensu. Stąd łatwo wynika, że wszystkie liczby są równe 1.
Skąd wziąłeś, że c=1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 mar 2014, o 13:11 
Użytkownik

Posty: 941
Masz rację, powinno być chyba, że c=kab, bo jak są to liczby względnie pierwsze to taką postać mają wielokrotności a i b, więc c \mid ab. Teraz dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 mar 2014, o 14:19 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
jezarek napisał(a):
więc c \mid ab. Teraz dobrze?
Jest to wniosek nieprawdziwy, a w dodatku nie taka była teza (przypominam miało być ab \mid c, co w rzeczy samej można wywnioskować z poprzedniej części Twojej wypowiedzi).
Jednak i poprzednia część wypowiedzi budzi poważne wątpliwości:
Cytuj:
powinno być chyba, że c=kab, bo jak są to liczby względnie pierwsze to taką postać mają wielokrotności a i b

To jest oczywiście prawda, ale skąd o tym wiemy? Przemycasz w tym zdaniu tezę bez żadnego uzasadnienia.

EDIT
Tymczasem ja muszę Cię przeprosić, bo właśnie zdałem sobie sprawę, że tego twierdzenia które kazałem Ci udowodnić, nie potrafię wykazać bez wykorzystania twierdzenia które jest zasadniczym celem tego tematu.
Wróćmy więc do pierwszego postu. Proponuję inne podejście (tym razem dobre). Przeprowadź dowód nie wprost.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 mar 2014, o 19:13 
Użytkownik

Posty: 941
To była pomyłka przy pisaniu, oczywiście na odwrót miało być. A czy rozwiązanie z drugiego postu jest właściwe formalnie - oczywiście to zamysł, tam jeszcze 2 linijki trzeba dopisać, wiem jak. Czy tak też nie można?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 mar 2014, o 20:18 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Oczywiście, że można, jeśli będzie poprawnie. Pokaż.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 mar 2014, o 20:36 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
jezarek napisał(a):
A czy rozwiązanie z drugiego postu jest właściwe formalnie - oczywiście to zamysł, tam jeszcze 2 linijki trzeba dopisać, wiem jak. Czy tak też nie można?

To zależy od tego, czy rozważasz liczby całkowite, czy jakiś inny pierścień. Nie doprecyzowałeś tego w pierwszym poście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 mar 2014, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 941
Ponewor napisał(a):
Oczywiście, że można, jeśli będzie poprawnie. Pokaż.

a = p_{1}^{\alpha _{1}} \cdot p_{2}^{\alpha _{2}} \cdot \ldots  \cdot p_{n}^{\alpha_{n}} \\ 
\\ b= p_{1}^{\beta _{1}} \cdot p_{2}^{\beta _{2}} \cdot \ldots  \cdot p_{n}^{\beta_{n}} \\ \\ 
w = NWW(a,b)=p_{1}^{\max (\alpha _{1},\beta _{1})} \cdot p_{2}^{\max (\alpha _{2},\beta _{2})} \cdot \ldots  \cdot p_{n}^{\max (\alpha_{n},\beta_{n})}\\ \\ 


c= p_{1}^{\gamma_{1}} \cdot p_{2}^{\gamma_{2}} \cdot \ldots  \cdot p_{n}^{\gamma_{n}}\\ \\
\forall \ k \in \NN \ \  \gamma_{k} \ge \max (\alpha _{k},\beta _{k}) \\ 
c= \underbrace{p_{1}^{\delta_{1}} \cdot p_{2}^{\delta_{2}} \cdot \ldots  \cdot p_{n}^{\delta_{n}} \cdot (p_{1}^{\max (\alpha _{1},\beta _{1})}}_{l \in \ZZ} \cdot
\underbrace{p_{1}^{\max (\alpha _{1},\beta _{1})} \cdot p_{2}^{\max (\alpha _{2},\beta _{2})} \cdot \ldots  \cdot p_{n}^{\max (\alpha_{n},\beta_{n})}}_{w=NWW(a;b)} = 
lw \\ \Rightarrow w \mid c  \Leftrightarrow NWW(a,b) \mid c

Pominąłem tu oczywiście jakieś specjalnie komentarze, bo nie chciało mi się ich już ładnie pisać tutaj.

norwimaj napisał(a):
To zależy od tego, czy rozważasz liczby całkowite, czy jakiś inny pierścień. Nie doprecyzowałeś tego w pierwszym poście.

W treści zadania tego nie było, myślę, że chodzi o liczby całkowite tutaj.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód na podzielność - zadanie 4  bobokaboboka  2
 Dowód dla 7 dowolnych liczb  uosiek  7
 Dowód podzielności - zadanie 6  fuzzgun  3
 Dowód podzielności przez 6  mech2015  8
 Dowód na podzielność 3 kolejnych liczb  MathMaster  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl