szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 15:00 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: łódz
Witam

Nie wiem zupełnie jak liczyć tego typu zadania prosiłbym o bardzo prymitywne wytłumaczenie tego typu zadań .

Podać resztę z dzielenia liczby
a) 7 ^{2014} przez 11
b) 19^{19} przez 5

Podać ostatnią cyfrę liczby 3^{2014} .


Prosił bym o rozwiązanie tego .

Dziękuję z góry za wszelką pomoc .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 15:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 30
Lokalizacja: Gwoździec
Skorzystaj z twierdzenia Eulera (dotyczący teorii liczb)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 15:20 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: łódz
proszę o pomoc chodzi mi o dokładne rozwiązania . Ja nie wiem zupełnie jak się za to zabrać potrzebuję aby mi ktoś to pokazał krok po kroku jak tego typu zadania się robi .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 15:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 30
Lokalizacja: Gwoździec
No dobra to od samego początku, wiesz co to są liczby względnie pierwsze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 15:43 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: łódz
tak wiem lecz mi tu nie chodzi o definicję tylko o konkretne rozwiązanie tego definicje znam lecz mi chodzi tylko o praktyczne wykonanie działań i pokazanie jak to trzeba rozbić i jak to zapisać .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 16:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 30
Lokalizacja: Gwoździec
Jeśli także wiesz co to jest funkcja Eulera (wyznacza ona ilość liczb względnie z nią pierwszych nie większych od niej samej tzn: dla \varphi(10)=4 gdyż są 4 liczby mniejsze od 10 i względnie z nią pierwszych). Zaś twierdzenie Eulera brzmi tak: a^{\varphi(m)}\equiv1 (mod\ m) o ile a i m są względnie pierwsze. Dla 1 przykładu widać że 7 jest względnie pierwsze z 11. Czyli 7^{\varphi(11)}\equiv1 (mod\ 11)\Rightarrow7^{10}\equiv1 (mod\ 11) czyli 7^{10} przy dzieleniu przez 11 daje reszte 1. No ale przecież ty masz 7^{2014}. No to jedziemy: 7^{10}\equiv1 (mod\ 11)\Rightarrow(7^{10})^{201}\equiv(1)^{201} (mod\ 11)\Rightarrow7^{2010}\equiv1 (mod\ 11) czyli 7^{2010}*7^{4}\equiv1*7^{4} (mod\ 11)\Rightarrow7^{2014}\equiv2401 (mod\ 11) teraz trzeba sprawdzić jaką resztę daje 2401 przez 11 (jak łatwo sobie wyliczysz to wyjdzie ci że daje resztę 3), czyli: 7^{2014}\equiv3 (mod\ 11) a to oznacza, że 7^{2014} przy dzieleniu przez 11 daje resztę 3. Teraz spróbuj zrobić pozostałe 2 przykłady tym samym sposobem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 17:06 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
No tutaj akurat nie trzeba używać aż twierdzenia Eulera, wystarczy jego szczególny przypadek, czyli tak zwane Małe Twierdzenie Fermata.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 17:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 30
Lokalizacja: Gwoździec
wiem o tym ale w przypadku 3 musi sprawdzić reszte z dzielenia przez 10 (no a 10 nie jest liczbą pierwszą, a więc małe twierdzenie Fermata tu nie zadziała). Wolałem tak zrobić ażeby było wiadome z czego to wynika.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 17:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Nie musi żadnego twierdzenia używać, wystarczy zauważyć, że 3^{2014} = 3^{2014}+1-1 = (9^{1007}+1)-1 = 10(9^{1006}-9^{1005}+...-9+1)-1

Skąd ostatnią cyfrą danego wyrażenia jest 9
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 17:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Vax, dobry trick ! : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 18:07 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Tylko w tym nawiasie powinny być minusy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 18:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Tak, literówka :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2014, o 18:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 30
Lokalizacja: Gwoździec
No właśnie źle, bo 19^{4}\equiv1(mod\ 5) 4 wynika z funkcji Eulera czyli jak wcześniej pisałem jest to ilość liczb względnie pierwszych z 5 i mniejszych od niej. (Są to liczby 1;2;3;4. Jak zauważyłeś jest ich tylko 4). Później nie podnosisz do potęgi 5 bo Ci wyjdzie 19^{20} a ztego nie wyliczysz 19^{19}. Dlatego podnieś do potęgi 4, wtedy 19^{16}\equiv1(mod\ 5) a teraz pozostaje Ci wymnożyć przez 19^{3}. Wyjdzie że 19^{19}\equiv19^{3}(mod\ 5) i pozostaje wyliczyć resztę z dzielenia 6859 przez 5. Jak zauważysz reszta ta wynosi 4, a więc 19^{19}\equiv4(mod\ 5).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Reszta z dzielenia - zadanie 66  angelst  2
 Reszta z dzielenia - zadanie 26  bujal  2
 Reszta z dzielenia - zadanie 9  Hoa Xang  4
 reszta z dzielenia - zadanie 90  dora1255  14
 reszta z dzielenia - zadanie 33  Ilonka  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl