szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2007, o 11:04 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Polska
Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n:

\frac{1}{2\cdot5}+\frac{1}{5\cdot8}+\frac{1}{8\cdot11}+...+\frac{n}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{2(3n + 2)}

Założenie:

\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{(3i-1)(3i+2)} =  \frac{k}{2(3k + 2)}

Teza:

\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{(3i-1)(3i+2)} + \frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)} =
 \frac{k+1}{2(3(k+1) + 2)} = \frac{k+1}{2(3k+5)}

Dowód:

\sum_{i=1}^{k+1}  \frac{k}{2(3k + 2)} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)}

Czy jak narazie wszystko jest dobrze?
Jak to teraz do siebie dodać, żeby wyszedł wynik tezy?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2007, o 11:27 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
We wzorze ogólnym pomieszało Ci się, gdzie ma być "n". W założeniu i tezie wszystko jest dobrze. Dowód zaś powinien wyglądać tak:
\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{(3i-1)(3i+2)} + \frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)}= \frac{k}{2(3k+2)}+ \frac{1}{ (3k+2)(3k+5)}=\frac{ k(3k+2)+2}{2(3k+2)(3k+5)}=\frac{ 3k^2+2k+3k+2}{2(3k+2)(3k+5)}=\frac{k(3k+2)+(3k+2)}{2(3k+2)(3k+5)}=\frac{ (3k+2)(k+1)}{2(3k+2)(3k+5)}=\frac{k+1}{2(3k+5)}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2007, o 11:53 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Polska
Tristan napisał(a):
We wzorze ogólnym pomieszało Ci się, gdzie ma być "n". W założeniu i tezie wszystko jest dobrze. Dowód zaś powinien wyglądać tak:
\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{(3i-1)(3i+2)} + \frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)}= \frac{k}{2(3k+2)}+ \frac{1}{ (3k+2)(3k+5)}=\frac{ k(3k+2)+2}{2(3k+2)(3k+5)}=\frac{ 3k^2+2k+3k+2}{2(3k+2)(3k+5)}=\frac{k(3k+2)+(3k+2)}{2(3k+2)(3k+5)}=\frac{ (3k+2)(k+1)}{2(3k+2)(3k+5)}=\frac{k+1}{2(3k+5)}


Dzięki
Oczywiście we wzorze ogólnym powinno być:

\frac{1}{2\cdot5}+\frac{1}{5\cdot8}+\frac{1}{8\cdot11}+...+
\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{n}{2(3n + 2)}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2007, o 18:40 
Użytkownik

Posty: 394
Lokalizacja: Wieluń
Czepiam się, ale czy początek nie powinien wyglądać tak?

\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{(3i-1)(3i+2)} = 
\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{(3i-1)(3i+2)} + \frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)}

Wydaje mi się, że sumujecie 2 razy ten ostatni wyraz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2007, o 20:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Mówiąc szczerze, to z lenistwa skopiowałem sobie początek tezy od Demona i rzeczywiście wkradł się błąd. Początek tezy powinien się u mnie zaczynać oczywiście od sumy kończącej się na wyrazie k.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu i wykaż jego poprawność  yarlan  1
 Dwa zadania z indukcji  o5try  4
 Korzystając z zasady indukcji  Gotek  2
 Metodą indukcji matematycznej  zielono_mi  1
 jak wykazac metoda indukcji matematycznej  cain11  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl