szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 mar 2014, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: podkarpacie
jak rozwiązać zadanie : znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez 2 punkty: P_1(1,2,-1), P_2(2,1,1) i tworzącej z płaszczyzną \pi o równaniu x-4y+z-1=0 kąt 60 stopni .
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2014, o 23:07 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
To BŁAGAM i wykrzykniki są nie na miejscu.
Dlatego tylko wskazówki.
1. Piszesz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P_1,P_2 - będzie to równanie z jednym parametrem.
2. Zapisujesz wektor normalny tej płaszczyzny \vec{n}_1.
3. Z równania danej płaszczyzny od razu piszesz wektor normalny tej płaszczyzny \vec{n}_2=[1,-4,1].
4. Korzystasz ze wzoru na cosinus kąta między wektorami
\cos\alpha=\frac{\vec{n}_1\circ\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}
5. Przyrównujesz ten cosinus do \cos60^\circ=\frac12 i wyliczasz parametr.
6. Zapisujesz znalezione równanie płaszczyzny.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 mar 2014, o 01:41 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: podkarpacie
chris_f napisał(a):
To BŁAGAM i wykrzykniki są nie na miejscu.
Dlatego tylko wskazówki.
1. Piszesz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P_1,P_2 - będzie to równanie z jednym parametrem.
2. Zapisujesz wektor normalny tej płaszczyzny \vec{n}_1.
3. Z równania danej płaszczyzny od razu piszesz wektor normalny tej płaszczyzny \vec{n}_2=[1,-4,1].
4. Korzystasz ze wzoru na cosinus kąta między wektorami
\cos\alpha=\frac{\vec{n}_1\circ\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}
5. Przyrównujesz ten cosinus do \cos60^\circ=\frac12 i wyliczasz parametr.
6. Zapisujesz znalezione równanie płaszczyzny.


a mogłabym prosić o zapis tego równania płaszczyzny z parametrem ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2014, o 09:21 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Zrobię to prymitywną metodą na chłopski rozum, są gotowe wzory, widziałem je w jakichś tablicach, ale oczywiście ich nie pamiętam, więc wolę sam policzyć.

Niech ta płaszczyzna ma równanie Ax+By+Cz+D=0. Z współrzędnych wektora \vec{P_1P_2} wynika, że współczynniki przy x,y,z w równaniu ogólnym płaszczyzny są różne od zer. Możemy zatem podzielić równanie stronami np. przez A.
Mamy wtedy, że
x+\frac{B}{A}y+\frac{C}{A}z+\frac{D}{A}=0
Dla ułatwienia oznaczmy \frac{B}{A}=b,\frac{C}{A}=c,\frac{D}{A}=d i wtedy równanie tej płaszczyzny będzie miało postać
x+by+cz+d=0
Korzystamy teraz z tego, że punkty P_1,P_2 mają leżeć na tej płaszczyźnie skąd dostaniemy
\begin{cases}
1+2b-c+d=0\Rightarrow c=1+2b+d
\\ 2+b+c+d=0\end{cases}
2+b+(1+2b+d)+d=0
3+3b+2d=0
d=-1-\frac32b
Wracając do c dostaniemy
c=1+2b-1-\frac32b=\frac12b
Ostatecznie równanie tej płaszczyzny ma postać
x+by+\frac12bz-1-\frac32b=0
i jest zależna tylko od jednego parametru b.
Do dalszych rachunków będzie nam i tak potrzebny wektor normalny tej płaszczyzny czyli wektor
\vec{n}_1=[1,b,\frac12b].
No i cała reszta z cosinusem już powinna pójść.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 mar 2014, o 10:23 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: podkarpacie
d wychodzi -3/2b -3/2 policzyłam aż do równania kwadratowego z b ale niestety delta wychodzi ujemna :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2014, o 11:08 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Coś chyba w rachunkach się pomyliłaś. Faktycznie z d wychodzi tak jak napisałaś, ale nam tak czy inaczej potrzebny jest tylko wektor normalny.
\vec{n}_1\circ\vec{n}_2=[1,b,\frac12b]\circ[1,-4,1]=1-4b+\frac12b=1-\frac72b
|\vec{n}_1|=\sqrt{1+b^2+\frac14b^2}=\sqrt{1+\frac54b^2}
|\vec{n}_2|=\sqrt{1+16+1}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}
Dostajemy równanie
\frac{1-\frac72b}{3\sqrt{2}\sqrt{1+\frac54b^2}}=\frac12
\frac{1-7b+\frac{49}{4}b^2}{18+\frac{90}{4}b^2}=\frac14
4-28b+49b^2=18+\frac{90}{4}b^2
\frac{106}{4}b^2-28b-14=0
\Delta=784+1484=2268>0

Te rachunki trzeba sprawdzić, bo nie liczyłem tego na papierze tylko od razu pisząc w TeX-u, więc łatwo o błąd.
Ale wychodzą sensownie dwa rozwiązania, bo na pewno powinny być dwie takie płaszczyzny.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 mar 2014, o 20:51 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: podkarpacie
współczynnik przy z , tzn c= -1/2 -1/2 b więc wektor normalny to [1, b, -1/2-1/2b]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2014, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Współczynnik przy z jest równy \frac12b, natomiast to co Ty napisałaś to współczynnik d, on nie wchodzi do wektora normalnego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przejście na postać parametryczną płaszczyzny  jbeb  1
 Równanie ogólne płaszczyzny i część wspolna 3 płaszczyzn.  mateoskamikadze  3
 Znajdź równanie płaszczyzny H  zx31  3
 Równanie płaszczyzny - zadanie 98  mirec  3
 pkt należacy do płaszczyzny  Kaczmar11  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl