szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 mar 2014, o 23:23 
Użytkownik

Posty: 232
Lokalizacja: Kraków
Bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem.
Znaleźć rzut prostej l1: \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac {z}{1}
na płaszczyznę poprowadzoną przez prostą l:\begin{cases} 2x+3y+z-8=0\\x+4y-2z+3=0\end{cases} równolegle do prostej l1.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2014, o 09:52 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Zadanie można rozbić na poszczególne kroki:
1. Znajdujemy równanie płaszczyzny na którą będziemy rzutować.
2. Na prostej l_1 wybieramy dwa dowolne punkty.
3. Rzutujemy te punkty na znalezioną płaszczyznę.
4. Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez te punkty.
Chyba największy problem może być z krokiem 1.

Do obliczeń wygodnie będzie zapisać równanie prostej l w postaci parametrycznej.
\begin{cases} 2x+3y+z-8=0\\ x+4y-2z+3=0\end{cases}
\begin{cases}z=8-2x-3y\\x+4y-2z+3=0\end{cases}
x+4y-2(8-2x-3y)=0
5x+10y-16=0
x=\frac{16}{5}-2y
z=8-\frac{32}{5}-4y-3y
Ostatecznie
l:\ \begin{cases}
x=\frac{16}{5}-2t\\
y=t\\
z=\frac85-7t\end{cases}
Mamy zatem wektor kierunkowy prostej l: \vec{n}=[-2,1,-7] oraz wektor kierunkowy prostej l_1: \vec{n}_1=[2,3,1]. Do tego znajdujemy punkt prostej l, np. P=\left(\frac{16}{5},1,\frac85\right).
Możemy w tym momencie zapisać równanie płaszczyzny na którą będziemy rzutować (wyznaczona jest przez wektory \vec{n},\vec{n}_1 i punkt P):
Jako jej wektor normalny (przyda nam się w kroku 3) możemy przyjąć
\vec{m}=\vec{n}\times\vec{n}_1=[22,16,-8]
a zatem równanie płaszczyzny ma postać
22x+16y-8z+D=0
Wykorzystujemy punkt P i dostajemy
22\cdot\frac{16}{5}+16-8\cdot\frac85+D=0
\frac{352}{5}+\frac{80}{5}-\frac{64}{5}+D=0
D=\frac{368}{5}
Czyli równanie płaszczyzny ma postać
22x+16y-8z+\frac{368}{5}

Kroki 2, 3 i 4 są już stosunkowo proste.

[edit]: Warto sprawdzić rachunki bo liczę to w pamięci i od razu klepię w komputer, ta, że błędy rachunkowe są prawdopodobne.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 mar 2014, o 14:43 
Użytkownik

Posty: 232
Lokalizacja: Kraków
Dziękuję bardzo:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 znaleźć rzut prostej  kasiula906  1
 Płaszczyzna zawierająca prostą i równoległa do prostej  weronica007  5
 Przekształcenia i równanie prostej  Glazzz  4
 Znajdź macierz symetrii wzgl. prostej  gajatko  0
 znaleźc odległośc między prostymi w przestrzeni  asius  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl