szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2018, o 00:15 
Użytkownik

Posty: 418
Lokalizacja: Rzeszów
Niedawno wpadłem na prosty pomysł jak udowodnić, że jedynymi skończonymi liczbami porządkowymi von Neumanna są liczby naturalne w sensie von Neumanna. Początkowo (lata temu) zastanawiałem się czy tak jest, nie dowierzałem, jakieś nieudolne próby uzasadniania. Teraz mogę to udowodnić w krótki, prosty sposób wykorzystując definicję skończoności, i fakt, że dwie liczby porządkowe podobne są równe. Z przyjemnością przedstawię krótki dowód:

Każda skończona liczba porządkowa jest liczbą naturalną (von Neumanna).

Dowód:

Ustalmy dowolną skończoną liczbę porządkową X. Ponieważ jest skończona to jest równoliczna z pewną liczbą naturalną n von Neumanna. Wiemy, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez inkluzję( a więc i liniowo). Również liczba naturalna jest liczbą porządkową, a więc jest dobrze uporządkowana przez inkluzję (można by pewnie inaczej to uzasadniać), a więc i liniowo. Mamy zatem dwa zbiory liniowo uporządkowane- liczba naturalna n i liczba porządkowa X. Są to zbiory n- elementowe( z założenia są równoliczne), a dokładniej skończone (dla ścisłości- potrafię wykazać, że liczba naturalna jest zbiorem skończonym- jest równoliczna z sobą samym). A dwa liniowo uporządkowane zbiory skończone i równoliczne są podobne. A dwie liczby porządkowe podobne uporządkowane inkluzją są równe. Czyli liczbą porządkowa X jest liczbą naturalną n.\square :D :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2018, o 10:18 
Użytkownik

Posty: 418
Lokalizacja: Rzeszów
Przypominam: Każda liczba rzeczywista x z \left[ 0,1\right) ma nieskończone rozwinięcie dwójkowe. Więc jest to taki ciąg a:\NN \rightarrow \left\{ 0,1\right\}, że ciąg b:\NN  \rightarrow \QQ liczbowy w systemie dwójkowym (b_n)= \left( 0,a_0; \ 0,a_0a_1; \ 0,a_0a_1a_2; \ldots\right) taki ciąg zbiega do liczby rzeczywistej x( ja bym to wyraził, jako, że supremum b_P zbioru wartości ciągu b istnieje i jest równe liczbie rzeczywistej x).

Dowodu jeszcze nie znam do końca. Chcę uzasadnić co innego( będzie to z tym związane).

Istnieje bijekcja między \left[ 0,1\right) a zbiorem \left\{ a\in \left\{ 0,1\right\} ^{\NN} \Bigl| \  \  \bigwedge\limits_{n\in\NN}  \bigvee\limits_{m\in\NN,m>n}  a_m=0\right\}.

Chodzi o zbiór tych ciągów zerojedynkowych w których zera występują dowolnie daleko, czyli z każdym n naturalnym jest dalszy wyraz ciągu równy 0.

Bijekcję można wprowadzić na podstawie przytoczonego przeze mnie twierdzenia przypisując liczbie rzeczywistej jej rozwinięcie dwójkowe. Jeśli wykluczymy ciągi, które od pewnego miejsca stale są równe 1 to będziemy mieć jednoznaczność takiego przypisania. I tak można zrobić, wtedy też będzie spełniony warunek, że zera w tym ciągu występują dowolnie daleko. A więc mamy funkcję. W sposób bardzo sprytny można pokazać, że ta funkcja jest różnowartościowa.

Niech x,y\in\left[ 0,1\right) będą różne. Pokazujemy, że odpowiadające im ciągi rozwinięć dwójkowych a_x,a_y są różne. Zauważmy, że dla rozwinięcia dwójkowego a ciąg b przybliżeń liczby jest wyznaczony jednoznacznie. Nazwijmy te ciągi odpowiednio jako b_x,b_y. Ciągi b_x, b_y wyznaczają te liczby x,y. Ciągi b_x, b_y muszą być rózne, bo inaczej wyznaczałyby te same liczby, a x \neq y- sprzeczność. Ciągi b_x, b_y muszą być różne, w takim razie ciągi a_x, a_{y} również muszą być różne( bo jakbyśmy mieli ten sam ciąg a, to byśmy mieli jednoznacznie wyznaczony ciąg b, a wiemy, że ciągi b_x,b_y są różne-sprzeczność). Zatem ciągi a_x, a_y są różne, co kończy dowód.

Dzięki takiej bijekcji (oraz lematu, że zbiory mocy continuum są odporne na dodawanie zbiorów co najwyżej przeliczalnych) w sposób prosty mogę pokazać, że 2^\NN=\left\{ 0,1\right\}  ^{\NN} jest mocy continuum :lol: , ale nie teraz, teraz już muszę iść.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 problem z lista part 2 ..  zxc18  6
 Relacja porządku- lista zadań  lgabka  0
 [C++] Lista jednokierunkowa przechowująca studentów  studentka ap  6
 c++ lista dwukierunkowa  chodzik  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl