szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 mar 2014, o 23:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Kraków
Wyznaczyć funkcję tworzącą dla ciągu a_n = (-1,0,1,0,3,0,5,...).

Wyznaczyłam wzór a_n = \begin{cases} 0, \quad \quad n=2k, k\in \mathbb{Z} \\ n-2, \quad \quad n=2k+1, k\in \mathbb{Z} \end{cases}
Mam wzór w postaci jawnej, więc wystarczy wstawić do wzoru na funkcję? czy tu jest jakiś haczyk?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Może chodzi o to żeby ten szereg \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} przedstawić w postaci skończonego napisu.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 00:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Kraków
tak tak, pytanie czy dobrze zaczęłam :) wyszło mi f(x) = x^2 -1 + \frac{1}{(1-x)^2} dla n nieparzystych, prosiłabym o sprawdzenie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 00:50 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
f(x) =  \sum_{0}^{ \infty }(n-2)x^{2n+1} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }(2n+2)x^{2n+1} - 3 \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n+1} =
\frac{1}{2}\frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n+2} - 3 \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n+1}= \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{1-x^{2}}\right) - \frac{3x}{1-x^{2}} =
=\frac{x}{(1-x^{2})^{2}} - \frac{3x}{1-x^{2}} = \frac{x(3x^{2}-2)}{(1-x^{2})^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 08:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
jarek4700, źle policzyłeś tę funkcję tworzącą wyrazy ciągu indeksujesz od zera
więc niezerowe są te z indeksami parzystymi
Dodatkowo wzór na wyraz ciągu trzeba nieco zmodyfikować

Równanie rekurencyjne

\begin{cases} a_{0}=-1 \\ a_{1}=0\\a_{n}=2\left( 1- \left( n \mod 2\right) \right)+a_{n-2}  \end{cases}

Funkcja tworząca

a_{0}=-1\\
a_{1}=0\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}= \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}}+\frac{2x^2}{1-x^2}\\
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 10:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Kraków
Czyli powinno być f(x) =  \sum_{0}^{ \infty }(n-2)x^{2n} ?

Dlaczego muszę zapisywać wzór rekurencyjnie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 10:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Powinno być f\left( x\right)=  \frac{3x^2-1}{\left( 1-x^2\right)^2 }

Jak zapiszesz wzór rekurencyjnie to łatwiej ci tę funkcje tworzącą będzie znaleźć
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 10:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Kraków
Prawie mi wyszło, ale mam tak:
f(x) =  \sum_{0}^{ \infty }(n-2)x^{2n} = \frac{1}{2} \sum_{0}^{\infty} (2n+1)x^{2n}-\frac{5}{2} \sum_{0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \left( x \cdot \frac{1}{1-x^2} \right) - \frac{5}{2(1-x^2)} = \frac{3x^2-2}{(1-x^2)^2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 11:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Zauważ że wam nie zgadzają się współczynniki z wykładnikami
Jaki jest współczynnik przy x^{2n}
Ja jednak jestem za tym żeby zapisać ciąg rekurencyjnie , wtedy wychodzi łatwo

Jak chcesz bez rekurencji to spróbuj w ten sposób

\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( 2n-1\right)x^{2n}  }= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( 2n+1\right)x^{2n} }- \sum_{n=0}^{ \infty }{2x^{2n} \mbox{d}x }\\
= \frac {\mbox{d} }{ \mbox{d}x }\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n+1} \right)- \sum_{n=0}^{ \infty }{2x^{2n}}

Otrzymany szereg jest geometryczny więc łatwo obliczyć jego sumę
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 11:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Kraków
mariuszm napisał(a):
Zauważ że wam nie zgadzają się współczynniki z wykładnikami

tzn?

mariuszm napisał(a):
Ja jednak jestem za tym żeby zapisać ciąg rekurencyjnie , wtedy wychodzi łatwo

tylko że nieco trudniej zapisać ten ciąg rekurencyjnie ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 11:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
niebieska_biedronka napisał(a):
mariuszm napisał(a):
Zauważ że wam nie zgadzają się współczynniki z wykładnikami

tzn?

Źle indeksujecie współczynniki tego szeregu

Szereg powinien wyglądać tak
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( 2n-1\right)x^{2n} }
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 mar 2014, o 11:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Kraków
Ok już rozumiem. wielkie dzięki!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2015, o 18:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Cytuj:
tylko że nieco trudniej zapisać ten ciąg rekurencyjnie ;)


Nie przesadzajmy , wzór rekurencyjny jest łatwy do zauważenia

\begin{cases} a_{0}=-1 \\ a_{1}=0\\a_{n}=a_{n-2}+1+\left( -1\right)^n  \end{cases}

Rekurencja jednorodna

\begin{cases} a_{0}=-1 \\ a_{1}=0\\a_{2}=1\\a_{3}=0\\a_{n}=2a_{n-2}-a_{n-4}  \end{cases}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja tworzaca  matkus1  14
 funkcja tworząca - zadanie 2  Hyuuga Neji  0
 funkcja tworząca - zadanie 3  kropq  1
 Funkcja tworząca - zadanie 4  napspan  1
 Funkcja tworząca - zadanie 5  ablazowa  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl