szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2014, o 01:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Założenia:

\mathcal{O} \subset \RR^n , gdzie \mathcal{O} jest otwarty,

g : \mathcal{O} \to \RR^k

g \in C^1

\forall_{x \in \mathcal{O}} \ g(x)=0  \Rightarrow rz Dg(x)=k

Teza:

Wówczas:

Jeżeli funkcja f : \mathcal{O} \to \RR jest różniczkowalna oraz ma w punkcie x_0 \in M=\left\{ x \in \mathcal{O} : g(x)=0\right\} ekstremum lokalne związane na zbiorze M, to istnieje taka forma liniowa \Lambda określona na \RR^k, że x_0 jest punktem stacjonarnym funkcji :


w=f - \Lambda \circ g (tzw. funkcja Lagrange'a)

tzn. Dw(x_0)=0


Dowód:

Ponieważ: Dw(x_0)= Df(x_0) - \Lambda \circ Dg(x_0), więc oznaczając A= Dg(x_0) , B=Df(x_0), należy dowieść istnienia takiej formy liniowej \Lambda \in \RR^k, że \Lambda \circ A=B, czyli:


\Lambda(Ah)=Bh , \quad h \in \RR^n.


Powyższy wzór chcemy przyjąć za definicję funkcji \Lambda, tzn jeśli y=Ah, gdzie h \in \RR^n, to kładziemy \Lambda y= Bh. Dla poprawności tej definicji należy wykazać, że jeśli Ah=Ah' (h, h' \in \RR^n), to Bh=Bh' . Co jest równoważne implikacji Ah=0  \Rightarrow Bh=0, zatem równoważnie inkluzji \ker A \subset \ker B, czyli inkluzji:

T_{x_0}M \subset \ker B.(*)

Niech \left( \varphi, \Delta \right) będzie mapą rozmaitości M , obejmującą punkt x_0. To znaczy x_0= \varphi(t_0) (t_0 \in \Delta \subset \RR^l , l=n-k ). Założmy, że funkcja f_{|M} przyjmuje w punkcie x_0 np. maksimum lokalne. Istnieje więc otoczenie U punktu x_0, że f(x) \le f(x_0) dla każdego x \in U \cap M. Z ciągłości odwzorowania \varphi wynika istnieje takiego otoczenia V \subset \Delta punktu t_0, że \varphi(V) \subset U. Mamy więc f(\varphi(t)) \le f(\varphi(t_0)) dla t \in V, co oznacza, że funkcja f \circ \varphi przyjmuje w punkcie t_0 maksimum lokalne. Na mocy twierdzenia(warunek koniczny ekstremum lokalnego) mamy D(f \circ \varphi)(t_0)=0, czyli B\circ D\varphi(t_0)=0, czyli B\left( D\varphi(t_0)q\right)=0 dla każdego q \in \RR^l, czyli Bs=0 dla każdego s \in T_{x_0}M, co kończy dowód inkluzji (*) . Ponieważ rz A=k, czyli A\RR^n=\RR^k, więc wzór \Lambda(Ah)=Bh , \quad h \in \RR^n definiuje funkcję \Lambda na całej przestrzeni \RR^k.

\square

Sformułujemy jeszczę tezę tego twierdzenia w innej postaci, nadającej się do rozwiązywania zadań. Ponieważ każda forma liniowa \Lambda na \RR^k jest postaci :

\Lambda y =  \sum_{j=1}^{k} \lambda_j y_j, gdzie y=(y_1, \ldots , y_k) \in \RR^k oraz \lambda_1 , \ldots \lambda_k \in \RR, więc teza twierdzenia orzeka istnieje liczb rzeczywistych \lambda_1 , \ldots \lambda_k takich, że x_0 jest punktem stacjonarnym funkcji:

w=f -  \sum_{j=1}^{k} \lambda_j g_j ,

czyli

Df(x)=  \sum_{j=1}^{k} \lambda_j Dg_j(x)

Źródło:
Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych Andrzeja Birkholca.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2014, o 17:30 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3902
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza & Warwick
Skąd się wzięła ta dziwna moda by twierdzenia zapisywać w taki sposób: założenia i lista znaczków, a później teza? Mamy przecież taki piękny język polski.

Zwrot "ekstremum lokalne związane na zbiorze" możnaby doprecyzować. Ogólniejsza wersja tego twierdzenia (twierdzenie Lusternika) w przypadku nieskończenie wymiarowym znajduję się w książce Maurina "Analiza I".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2014, o 17:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Spektralny, wiem. Nasz język jest piękny i bogaty. Ale nie sądzisz, że takie przedstawienie jest pięknie czytelne i wiadomo od razu co chce dowieść, co mam założone etc. ? Przecież to o jasnośc przekazu w dowodzie chodzi, a nie o bogate słownictwo. Czyż nie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2014, o 17:56 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
leszczu450 napisał(a):
Ale nie sądzisz, że takie przedstawienie jest pięknie czytelne i wiadomo od razu co chce dowieść, co mam założone etc. ?
Wtrącają się ;) to ja osobiście tak nie sądze - takie wylistowanie szybko mi umyka, a jak jest ubrane w ładne zdanie, to czyta się naturalnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2014, o 18:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
luka52, a ja podtrzymuje moje zdanie : ) Nie wiem jak to rozwiążemy w takim razie. Może skoncentrujemy sie na matematyce hm? : )
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Teoria grup - Lagrange  mieszkoza  4
 Twierdzenie Talesa - zadanie 19  Wojtek_n  4
 Interpolacja Lagrange’a  kamil13151  3
 Twierdzenie o 3 funkcjach  Samlor  1
 Twierdzenie Kroneckera - Capellego  darek88  22
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl