szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 mar 2014, o 20:07 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Wrocław
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k\left( k+1\right) \left( k+9\right) \left( k ^{2} +1\right) jest podzielna przez 5.

Wiem, że istnieją jakieś sposoby związane z indukcją, ale my tego w programie w ogóle nie mieliśmy, przy podzielności wszystko robiliśmy na zasadzie wyłączenia przed nawias liczby podzielnej przez 5. Doprowadziłam to do postaci k ^{5}+ 10k ^{4} + 10k ^{3} + 10k ^{2} + 9k i nie wiem co dalej z tym zrobić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 mar 2014, o 20:15 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
k ^{5}+ 10k ^{4} + 10k ^{3} + 10k ^{2} + 9k = 10(k^{4}+k^{3}+k^{2}) + k^{5} + 9k
Musisz udowodnić teraz, że dla każdego k całkowitego liczba k^{5} +9k jest podzielna przez 5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 mar 2014, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 391
Lokalizacja: Wrocław
Zauważ, że k ^{5} \equiv k \pmod{5}.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 mar 2014, o 20:21 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Wrocław
A jak się zabrać do udowodnienia, że k ^{5} + 9k jest podzielne przez 5?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 mar 2014, o 20:22 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Szkolnym sposobem byłoby takie przekształcenie (na dość wyższym poziomie) :
k^{5} + 9k=k(k^{4}+9)=k((k^{4}-5k^{2}+4) +5k^{2}+5)=k(k^{4}-5k^{2}+4) + k(5k^{2}+5)=
(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2) + 5k(k^{2}+1)
Mamy tutaj sumę dwóch kolejnych liczb podzielnych przez 5 więc też suma liczba jest podzielna przez 5
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl