szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2014, o 21:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 227
Mam ogromną prośbę. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć metodę rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną? Oczywiście nie chodzi tu o takie proste, jak np.

\left| 2x-8\right| =4

Chodzi mi bardziej o takie złożone przykłady, np.

\left| x\right| +\left| x+5\right| =7

albo (co mniej najbardziej przeraża):

\left| \left| \left| x\right|-1 \right|-1 \right| =1

Błagam, jest to jedna z niewielu rzeczy, z którymi nie potrafię sobie poradzić samodzielnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2014, o 22:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1800
Lokalizacja: warszawa
\left| x\right| +\left| x+5\right| =7

zrób przedziałami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2014, o 22:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Cosinus01, ok! To bierzemy się za to \left| x\right| +\left| x+5\right| =7

Rozważ przedziały, dla których zmieniać się będą znaki pod wartością bezwględną. Zauważ, że mamy takie przedziały:

1. \left(-\infty,-5 \right)

Dla iksów z tego przedziału nasze równanie ma postać:

-x -(x+5)=7

2. \left[-5,0\right)

Tutaj równanie wygląda tak:

-x +x+5=7

3.\left[0,+\infty \right)

Dla iksów z tego przedziały nasze równanie przyjmuje postać:x+x+5=7

Każde z tych równań rozwiązujesz i otrzymany wynik sprawdzasz z założeniem. Jasne?

-- 2 kwi 2014, o 22:18 --

Możesz się zastanwiać dlaczego akurat takie przedziały. Już się z tego tłumaczę. Otóż spójrz na |x|. Jest jasne, że punkt 0 jest tutaj takim krytycznym punktem. Dla x  \ge 0 mamy x , a dla x <0 mamy -x. Co nie?

To samo robimy z |x+5|. Dla x  \ge -5 mamy x+5 bo wyrażenie jest dodatnie, a dla x <-5 mamy wyrażenie stale ujemne ! -(x+5). Właśnie w tym punkcie krytycznym zmienia się nam znak. Dlatego go wybieramy.

Teraz jeszcze jedno. Jak powstają te przedziały? Ano bierzesz ołówek, rysujesz oś liczbową, zaznaczasz te punkty krytyczne o których mówiłem. One dzielą nam oś na trzy przedziały. To są te przedziały, o których pisałem wyżej. I odpowiednio dla tych przedziałów, albo oba znaki będą dodatnie, albo oba ujemne, albo jeden plus, drugi minus.

Wszystko jasne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2014, o 23:11 
Administrator

Posty: 21393
Lokalizacja: Wrocław
A ja trochę inaczej...
Cosinus01 napisał(a):
\left| x\right| +\left| x+5\right| =7

Geometrycznie.

\left| x\right| +\left| x+5\right| to suma odległości x od 0 i -5. Ponieważ odległość od 0 do -5 wynosi 5, więc x musi być >0 lub <-5. Ale zauważ, że w obu przypadkach odległość x od 0 (lub -5) jest do sumy odległości liczona dwukrotnie, a do 7 brakuje Ci jeszcze 2, więc musi wynosić 1. Odpowiedzi zatem to x=1 i x=-6. Żadnego liczenia, wystarczy, jak narysujesz sobie to na osi liczbowej i popatrzysz.

Cosinus01 napisał(a):
\left| \left| \left| x\right|-1 \right|-1 \right| =1

Graficznie.

Rysujesz wykres funkcji y=\left| \left| \left| x\right|-1 \right|-1 \right| - to proste przekształcanie wykresu funkcji y=|x| - i prostą y=1, patrzysz, gdzie się przetną i odczytujesz odpowiednie x-y.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 12:07 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2059
Lokalizacja: Zamość
Cosinus01 napisał(a):
Mam ogromną prośbę. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć metodę rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną? Oczywiście nie chodzi tu o takie proste, jak np.

\left| 2x-8\right| =4

Chodzi mi bardziej o takie złożone przykłady, np.

\left| x\right| +\left| x+5\right| =7

albo (co mniej najbardziej przeraża):

\left| \left| \left| x\right|-1 \right|-1 \right| =1

Błagam, jest to jedna z niewielu rzeczy, z którymi nie potrafię sobie poradzić samodzielnie.

Wystarczy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej.
Rozpatruj wszystkie możliwe kombinacje znaków dla poszczególnych modułów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 15:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 227
Dzięki. A jak się graficznie da rozwiązać równanie typu:

\left| \left| \left| x\right|-1 \right|-1 \right| =1 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 15:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Narysować funkcję y=x. Nałożyć wartość bezwzględną (odbić względem osi x). Odjąć jeden we wzorze, czyli jednocześnie przesunąć funkcję o 1 w dół. Nałożyć wartość bezwzględną. I tak dalej. Wykonujesz to dopóki nie uzyskasz wzoru funkcji podanego w zadaniu (tutaj po lewej stronie równania). W końcu dla iluś argumentów funkcja będzie miała wartość 1. Te argumenty są rozwiązaniami. Szybka metoda ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 16:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 227
O jezu, przepraszam, chodziło mi o algebraiczne rozwiązanie. :) Graficzne rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 16:13 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Cosinus01, trzeba to robić takim sposobem: |a|=1  \Leftrightarrow a=1  \vee a=-1 i tak dalej. Dostaniesz kilka warunków. Rozumiesz? : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 17:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 227
Czyli takim sposobem? (pewnie mam gdzieś błędy...)

\left| \left| \left| x\right|-1 \right|-1 \right|= 1


1.\ dla \ x \in \left( - \infty; 0\right)

\left| \left| -x-1 \right|-1 \right|= 1 \Rightarrow \left| \left| x+1 \right|-1 \right|= 1

\left( x+1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -1\right)  \Rightarrow \left| x+1-1\right| = 1  \Rightarrow x=-1 \vee x=1 \\
 x=-1 \in \left( - \infty; 0\right) \\
 x=1 \not\in \left( - \infty; 0\right)

(x+1<0  \Leftrightarrow  x<-1) \Rightarrow \left| x-1-1\right| =1 \Rightarrow \left| x+2\right| =1  \Rightarrow x+2=-1 \vee x+2=1 \Rightarrow x=-3 \vee x=-1 \\
 x=-3 \in \left( - \infty; -1\right) \\
 x=-1 \not\in \left( - \infty; -1\right)

2.\ dla \ x \in\left\langle 0; + \infty \right)

\left| \left| x-1 \right|-1 \right|= 1

\left( x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\right)  \Rightarrow \left| x-1-1\right| =1 \Rightarrow \left| x-2\right| =1 \Rightarrow x-2=-1 \vee x-2=1 \Rightarrow x=1 \vee x=3 \\
 x=1 \in\left\langle 1; + \infty \right) \\
 x=3 \in\left\langle 0; + \infty \right)

\left( x-1<0 \Leftrightarrow x<1\right)  \Rightarrow \left| -x+1-1\right| =1 \Rightarrow \left| -x\right| =1  \Rightarrow x=1 \vee x=-1 \\
 x=1 \not\in\left\langle 0; 1 \right) \\
 x=1 \not\in\left\langle 0; 1 \right)

Zatem równanie \left| \left| \left| x\right|-1 \right|-1 \right|= 1 jest prawdziwe dla x=-3,\ x=-1,\ x=1,\ x=3.

Czy dobrze rozumuję? Bo zaczynam to już chyba czaić. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 18:43 
Administrator

Posty: 21393
Lokalizacja: Wrocław
Niezupełnie - utrudniasz sobie życie.

|||x|-1|-1|=1\\
||x|-1|-1=1\lor ||x|-1|-1=-1\\
||x|-1|=2\lor||x|-1|=0

I teraz

1.
||x|-1|=2\\
|x|-1=2\lor|x|-1=-2\\
|x|=3\lor|x|=-1

Drugie niemożliwe, więc x=3 lub x=-3.

2.
||x|-1|=0\\
|x|-1=0\\
|x|=1

Zatem x=1 lub x=-1.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 18:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 227
Już rozumiem. Bardzo dziękuję! :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2014, o 19:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3370
Lokalizacja: Krk
Ewentualnie interpretacja geometryczna, też szybko idzie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania i nierówności z wartością bezwzgledną  mollya  3
 Równania i nierówności z wartością bezwzględną  19MARTA86  4
 Równania i nierówności z wartością bezwzględną - zadanie 2  Jarek1991  3
 równania i nierówności z wartościa bezwzgledna  wioluska10  10
 Równania i nierówności z wartoscia bezwzgledna  rafalek123455  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl