szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2014, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 122
Lokalizacja: woj. Mazowieckie
Cześć, mam straszny problem z wymyśleniem metody jak znaleźć najmniejszą odległość punktu o danych współrzędnych od parabolii.
Wiem , że Pitagoras zawsze pomoże ,(x,ax^2+bx+c) ( m,n) i mozna policzyć , ale jak mam wielomian 4 stopnia to potem pochodna jest 3 stopnia , więc przyrównanie do 0 nie jest zbyt dobrą opcją.

Byłbym bardzo wdzięczny za przedstawienie metody , jeśli znacie metodę na taką najmniejszą odległośc punktu od innych funkcji , np. wielomianowych 3 stopnia , sinusów , wykladniczej itd to też chętnie bym obejrzał.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2014, o 22:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 561
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Liczysz pochodną i znajdujesz jej punkty krytyczne. Poszukiwany punkt to ten dla którego wartość funkcji którą różniczkowałeś będzie najmniejsza.

@edit:

Czemu przyrównywanie do zera nie jest "zbyt" dobrą opcją? Jeżeli pochodna jest trzeciego stopnia, oznacza to że ma co najwyżej trzy miejsca zerowe, a więc masz co najwyżej trzy punkty krytyczne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2014, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 122
Lokalizacja: woj. Mazowieckie
No weźmy parabolę y=x ^{2} +7x+1 i punkt A=(0,0)
Z Pitagorasa d ^{2} =x ^{2}+  (x ^{2} +7x+1)^2= x ^{4}+14x ^{3} +52x ^{2}+ 7x+1
pochodna będzie 4x ^{3}+42x ^{2}+104x+7=0
To jest takie łatwe do rozwiązania ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2014, o 23:40 
Użytkownik

Posty: 1425
Lokalizacja: Polska
http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wna ... ierwiastek

albo ew. metody numeryczne
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2014, o 00:05 
Użytkownik

Posty: 2269
Lokalizacja: Warszawa
Odległość punktu od dowolnej krzywej jest to długość odcinka prostopadłego do wykresu funkcji przechodzącego przez ten punkt.
Pochodna funkcji f(x) w p-kcie x_{0} jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Nas interesuje odcinek prostopadły do tej stycznej. Wiadomo, że tangens tej prostopadłej jest równy minus cotangensowi stycznej. Podsumujmy więc:

y=ax^2+bx+c
y'=2ax+b
Tangens prostej prostopadłej do stycznej jest więc równy -\frac{1}{2a}
Prosta ta ma przechodzić przez punkt A\left( x _{A}, y _{A}  \right)

Trzeba więc napisać równanie prostej o współczynniku kierunkowym -\frac{1}{2a} i wyrazie wolnym b_{1} spełniającym równanie

y _{A}=- \frac{1}{2a} \cdot x _{A} + b _{1}

skąd

b _{1}=y _{A}+ \frac{1}{2a} \cdot x _{A}

Twoja prosta prostopadła do paraboli y=ax^2+bx+c przechodząca przez punkt A\left( x _{A}, y _{A}  \right) ma równanie:

y=-\frac{1}{2a}x +y _{A}+ \frac{1}{2a} \cdot x _{A}

czyli

y-y _{A}= -\frac{1}{2a} \left( x- x _{A} \right)

Znajdż jej punkt przecięcia z parabolą ( oznaczmy go jako B\left( x _{B}, y _{B}  \right)), rozwiązując układ równań


\begin{cases} y=ax^2+bx+c \\ y-y _{A}= -\frac{1}{2a} \left( x- x _{A}\right) \end{cases}

i oblicz odległość np. z tw. Pitagorasa

d= \sqrt{\left( x _{B}-x _{A}\right)^2 +  \left( y _{B}-y _{A}\right)^2  }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2015, o 17:04 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Wrocław
@Dilectus, dlaczego współczynnikiem kierunkowym stycznej do paraboli jest 2x? Przecież a=f'(x), a tutaj pochodna to 2x+b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2015, o 17:44 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
Acros napisał(a):
No weźmy parabolę y=x ^{2} +7x+1 i punkt A=(0,0)
Z Pitagorasa d ^{2} =x ^{2}+  (x ^{2} +7x+1)^2= x ^{4}+14x ^{3} +52x ^{2}+ 7x+1
pochodna będzie 4x ^{3}+42x ^{2}+104x+7=0
To jest takie łatwe do rozwiązania ?

Czasem udaje się otrzymać rozwiązanie stosując schemat, który podałem tutaj: viewtopic.php?f=102&t=382458
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Szukanie punktu na prostej, tak żeby trójkąt miał pole = 5  mba3ek  1
 Odległość punktów - zadanie 5  Ktos_88  3
 Współrzędne punktu odbicia  mememo  3
 rzut punktu na prostą w R3  rooker  1
 R3 odległość między prostymi  konradgmo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl