szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 kwi 2014, o 22:55 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12676
Lokalizacja: Kraków
Czynnik całkujący w równaniach różniczkowych







Jedną z często spotykanych form równań różniczkowych zwyczajnych o jednej zmiennej przestrzennej jest ich prezentacja w postaci formy

P(x,y)\dd x+Q(x,y)\dd y=0.

gdzie P oraz Q są funkcjami klasy \mathcal{C}^1 na pewnym jednospójnym obszarze \Omega i nie zerują się obie jednocześnie w żadnym punkcie tego obszaru. Forma ta może być zupełna - mówimy wtedy o równaniu zupełnym. Jednak zwykle mamy do czynienia z równaniem niezupełnym, co w szczególności oznacza, że

\pfrac{P}{y}\neq \pfrac{Q}{x}.


Jeżeli równanie nie jest zupełne, to możemy znaleźć funkcję \mu(x,y) taką, że wyjściowe równanie pomnożone stronami przez \mu(x,y) staje się zupełne.

Definicja 1.1. Funkcję \mu nazywamy czynnikiem całkującym.

Gdy znajdziemy czynnik całkujący równania, możemy je przekształcić do postaci

P(x,y)\mu(x,y)\dd x+Q(x,y)\mu(x,y)\dd y=0


i następnie rozwiązać tak, jak klasyczne równanie zupełne.

Poniżej prezentujemy kilka podstawowych typów czynników całkujących oraz metody ich poszukiwania.




Twierdzenie 2.1. Jeżeli wyrażenie
\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)


jest funkcją zależną wyłącznie od zmiennej x, to istnieje czynnik całkujący \mu=\mu(x) i jest on postaci

\mu(x)=\exp \left(\int\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}
{\partial x}\right)\dd x\right).


Dowód:    


Analogiczne twierdzenie zachodzi dla czynnika zależnego tylko od zmiennej y.

Twierdzenie 2.2. Jeżeli wyrażenie
\frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)


jest funkcją zależną wyłącznie od zmiennej y, to istnieje czynnik całkujący \mu=\mu(y) i jest on postaci

\mu(y)=\exp \left(\int\frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\dd y\right).

Dowód jest identyczny, więc go pomijamy.

Przykład 2.3. y' + \frac{y}{x} = \frac{1}{ x^{3} \cdot y }
Rozwiązanie - 342497.htm

Przykład 2.4. y'=\frac{y}{y^2+3x}
Rozwiązanie - 334796.htm

Przykład 2.5. xy^{2}+y -x \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=0
Rozwiązanie - 331994.htm

Przykład 2.6. y^2 + \left( x^2-2xy\right) \frac{\dd y}{\dd x} =0
Rozwiązanie - 360839.htm




Twierdzenie 3.1. Jeżeli istnieją funkcje u=u(x) oraz v=v(y) takie, że

\pfrac{P(x,y)}{y}-\pfrac{Q(x,y)}{x}=u(x)Q(x,y)-v(y)P(x,y),


to istnieje czynnik całkujący \mu=\mu(x,y)=f(x)g(y), gdzie

f(x)=\exp\left(\int u(x)\dd x\right),\qquad g(y)=\exp\left(\int v(y)\dd y\right).


Dowód:    



Przykład 3.2. \frac{xy}{e^y} + \left( xy- \frac{x^2y}{e^y} \right) \frac{\dd y}{\dd x} =0
Rozwiązanie - 360857.htm

Przykład 3.3. (\sin{4y}+\frac{2}{x}\sin{2y})-2x\sin^2{2y}\frac{\dd y}{\dd x}=0
Rozwiązanie - 103632.htm





Twierdzenie 4.1. Niech S(x,y)=x+y Jeżeli wyrażenie

\frac{1}{P-Q}\left(\pfrac{Q}{y}-\pfrac{P}{x}\right),


jest funkcją zależną formalnie wyłącznie od zmiennej S, to istnieje czynnik całkujący \mu=\mu(S(x,y)) i jest on postaci

\mu(x,y)=\exp\left(\int \frac{1}{P-Q}\left(\pfrac{Q}{y}-\pfrac{P}{x}\right)\dd S\right),


Dowód:    



Przykład 4.2. (3x+4y)\dd x-(2x+y)\dd y=0 (źródło - wikipedia)
Rozwiązanie:
Ukryta treść:    




Rozważmy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzędu pierwszego

y'(x)+f(x)y(x)=g(x)\qquad (\Delta)


Poza klasycznymi metodami, jak uzmiennianie stałej czy metoda przewidywań (przykłady), możemy zastosować metodę czynnika całkującego w innej niż wcześniej formie. Mianowicie, możemy znaleźć taką funkcję \mu(x), że wyjściowe równanie pomnożone stronami przez nią daje się łatwo rozwiązać. Precyzuje to poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 5.1. Istnieje funkcja \mu=\mu(x) taka, że równanie (\Delta) daje się zapisać w postaci:

(y(x)\cdot \mu(x))'=g(x)\mu(x).


Funkcja \mu dana jest wzorem

\mu(x)=\exp\left(\int f(x)\dd x\right)


Dowód:    




Przykład 5.2. y'+y\ctg x=\frac{x^2}{\sin x}
Rozwiązanie:
Ukryta treść:    


Przykład 5.3. y' + 2xy = x

Rozwiązanie - 356914.htm



Wszelkie uwagi, informacje o błędach/literówkach proszę kierować na PW. Mile widziane sugestie, akceptuję również odnośniki do (ciekawych) przykładów z forum.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2014, o 18:49 
Użytkownik

Posty: 5086
Lokalizacja: Staszów
Proponuję postawić ten list jako "przyklejony".
Będzie przydatny wielu PT Forumowiczom.
W.Kr.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2014, o 20:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1875
Lokalizacja: Warszawa
Całego artykułu nie miałem czasu przejrzeć, ale na pierwszy rzut oka, to
wydaje mi się, że jeżeli chcemy nauczyć kogoś znajdowania czynnika całkującego, to twierdzenie
"Jeżeli \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}
{\partial x}\right) jest funkcja zmiennej x, to wtedy dobrym czynnikiem całkującym będzie \mu(x)=\exp \left(\int\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}
{\partial x}\right)\dd x\right) "
wydaje się być dużo użyteczniejsze niż twierdzenie
"Jeżeli istnieje czynnik całkujący postaci \mu=\mu(x), to

\mu(x)=\exp \left(\int\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}
{\partial x}\right)\dd x\right) "
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2014, o 22:52 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12676
Lokalizacja: Kraków
kruszewski, temat jest linkowany w innym przyklejonym temacie w forum poświęconym równaniom różniczkowym.

Swistak, uwaga słuszna. Istotnie, rozwiązując zadanie zaczynamy od sprawdzenia, czy odpowiednie wyrażenie jest takiej czy innej postaci i stąd formułujemy wniosek o postaci czynnika całkującego. Przeformułowałem więc wypowiedzi twierdzeń na bardziej "praktyczne".

Podziękowania dla luka52 za podsunięcie pomysłu na rozdział piąty oraz zwrócenie uwagi na kilka kwestii technicznych.

mariuszm, z kolei Twoje uwagi dotyczyły w jednym przypadku sytuacji zbyt ogólnej (moim celem jest przedstawienie postaci czynnika w sprecyzowanych i zwykle nauczanych postaciach), w drugim przypadku sytuacji, w moim przekonaniu, "na siłę".
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Metoda uzmienniania stałych dla równań różniczkowych liniowych  luka52  0
 Metoda przewidywania dla równań różniczkowych liniowych  luka52  0
 Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych  szw1710  0
 Układ równań różniczkowych - zadanie 9  dawkat  2
 Wyznacz czynnik wielomianu w(x)  qwadrat  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl