szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2014, o 14:05 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Równania różniczkowe II rzędu sprowadzalne do równań I rzędu







Równania tego typu sprowadza się do równań pierwszego rzędu przez zwyczajne scałkowanie stronami, to znaczy

y''=f(x) \qquad \Rightarrow \qquad y'=\int f(x) \dd x.


Przykład 1.1. y''=x^2
Rozwiązanie:    


Przykład 1.2. y''=xe^{x}
Rozwiązanie:    





Równania, w których nie występuje y, sprowadzamy do równań pierwszego rzędu podstawieniem

y'(x)=u(x).


Otrzymujemy wtedy równanie
F(x,u,u')=0,

a więc jest to istotnie równanie różniczkowe pierwszego rzędu.

Przykład 2.1. \begin{cases}2y''-y' ^{2}=0 \\ y(0)=1\\ y'(0)=-2 \end{cases}

Rozwiązanie - 342496.htm

Przykład 2.2. tx''=x'\ln \frac{x'}{t}

Rozwiązanie - 347309.htm



Jeżeli w równaniu nie występuje x, to dokonujemy podstawienia
y'(x)=u(y).

Wtedy też
y''(x)=\frac{\dd u}{\dd x}=\ddfrac{u}{y}\ddfrac{y}{x}=u'(y)u(y).


Podstawiając dostajemy równanie różniczkowe pierwszego rzędu

F(y,u,u'u)=0.


Przykład 3.1. 2yy''= (y') ^{2} - 1, y(1)=2, y'(1)=2

Rozwiązanie - 342148.htm

Przykład 3.2. y''=(y')^3 \cdot \ln y

Rozwiązanie - 362444.htm

Przykład 3.3. yy''-(y') ^{2} = 3y ^{2} y'

Rozwiązanie - 377498.htm



Jeżeli równanie jest nieco prostszej postaci, to jest mamy do czynienia z równaniem typu

y''=F(y),


to możemy je pomnożyć stronami przez y' oraz scałkować:

y''y'=y'F(y),

\int y''y'\dd x=\int y'F(y)\dd x,

\frac{1}{2}(y')^2=\int y'F(y)\dd x.


Przykład 3.4. y'' + \omega^2 \sin y = 0

Przykład oraz zamieszczone poniżej rozwiązanie pochodzi od użytkownika luka52, któremu serdecznie dziękuję za przekazanie oraz możliwość umieszczenia go w niniejszym wykładzie.

Rozwiązanie:    



Jeżeli równanie jest jednorodne względem zmiennych y, y', y'', gdzie x nie występuje w równaniu w sposób jawny, to możemy zastosować podstawienie

y(x)=e^{u(x)}.

Wtedy:
y'=u'e^u,\qquad y''=((u')^2+u'')e^u,


a więc równanie ma postać

F(y,y',y'')=F(e^u,u'e^u,((u')^2+u'')e^u)=0,


co na mocy jednorodności można zapisać zwięźle jako

F(1,u',(u')^2+u'')=0.


Jest to równanie różniczkowe, którego sposób rozwiązania przedstawiony został w rozdziale trzecim.

Przykład 4.1. 2yy''+(y')^2=0
Rozwiązanie:    


Czasem możemy mieć do czynienia z równaniem jednorodnym względem y, y', y'' w postaci

F(x,y,y',y'')=0.


Możemy wtedy zastosować podstawienie

y'(x)=y(x)z(x)\qquad \Rightarrow \qquad y''=y(z'+z^2),


które sprowadza równanie bezpośrednio do równania pierwszego rzędu. Istotnie, mamy

F(x,y,y',y'')=F(x,y,yz,y(z^2+z'))=F(x,1,z,z^2+z').


Przykład 4.2. x^2yy''-x^2(y')^2+2xyy'-y^2=0.
Rozwiązanie:    


Wszelkie uwagi, informacje o błędach/literówkach proszę kierować na PW. Mile widziane sugestie, akceptuję również odnośniki do (ciekawych) przykładów z forum.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Metoda Newtona - przybliżone rozwiązywanie równań  bolo  0
 Równania charakterystyczne  Piotr Rutkowski  0
 równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych - zadanie 2  lukasz1804  0
 równania różniczkowe liniowe  lukasz1804  0
 Metoda uzmienniania stałych dla równań różniczkowych liniowych  luka52  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl