szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2014, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 81
Witam! Nie wiem jak udowodnić (i czy ogólnie działa) coś takiego:

Mamy względnie pierwsze liczby a,b czy wtedy NWD(a,b,a^2-b^2)=1 ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2014, o 14:53 
Użytkownik

Posty: 121
Lokalizacja: Kraków
Tak. Dlatego że z założenia wynika że NWD(a,b)=1 więc tym bardziej teza :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2014, o 14:57 
Użytkownik

Posty: 81
a czy jak by było NWD(a, a^2-b^2) to wtedy też by działało ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2014, o 15:21 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Zauważ, że a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Wykażemy w tym celu, że z warunku NWD(a,b)=1 wynika, że NWD(a,a-b)=NWD(a,a+b)=1
Załóżmy przeciwnie, że NWD(a,a-b)=d, d>1 Wtedy dla pewnych x, y \in C i takich, że NWD(x,y)=1 zachodzi a=dx, a-b=dy, skąd mamy, że
a-(a-b)=dx-dy czyli b=d(x-y) a stąd wynika, że d|b natomiast wcześniej mieliśmy, że a=dx czyli d|a sprzeczność z warunkiem, że NWD(a,b)=1.
Analogicznie dla sumy.
Reasumując - działałoby.
Można też spróbować bezpośrednio.
NWD(a,b)=1 niech NWD(a,a^{2}-b^{2})=d, d>1 i dalej jak na górze
a=dx, a^{2}-b^{2}=dy, stąd też b^{2}=d(y-dx^{2}) i stąd skoro b \ge d to d|b^{2}  \Leftrightarrow d|b
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Liczby względnie pierwsze  magdabp  1
 liczby względnie pierwsze - zadanie 21  metalknight  1
 Liczby względnie pierwsze - zadanie 2  Mathias666  1
 Liczby względnie pierwsze - zadanie 14  kamil142  19
 Liczby względnie pierwsze - zadanie 10  patryk007  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl