szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: wyznacz tangens
PostNapisane: 18 kwi 2014, o 19:59 
Użytkownik

Posty: 397
Lokalizacja: Koluszki
W trójkącie równobocznym poprowadzono odcinek |AD| gdzieD \in |BC|. Wyznacz tangens kąta DAB, jeśli wiadomo, że stosunek pola trójkąta ADB do pola trójkąta ADC wynosi \frac{2}{3}.

Oznaczyłam sobie długość CD jako x i długośćBD jako a-x, gdzie a jest bokiem trójkątaABC. Obliczyłam sobie ten x ze stosunku podanych pół i wyszło mi, że x= \frac{2}{5}. Czy to jest dobrze?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: wyznacz tangens
PostNapisane: 18 kwi 2014, o 20:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6249
x= \frac{3}{5}a.

Wiesz co robić dalej?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: wyznacz tangens
PostNapisane: 19 kwi 2014, o 11:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 16
Lokalizacja: Ukraine, Sumy
Może trochę brutalnie

z cosinusów:
AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2\cdot AB \cdot BD \cdot \cos(60)
\cos(60) = \frac{1}{2}
\cos(\angle DAB) = \frac{AD^2 + AB^2 - BD^2}{2\cdot AD \cdot AB}

\cos(\angle DAB) = \frac{ AB^2 + BD^2 - AB \cdot BD  + AB^2 - BD^2}{2\cdot AD \cdot AB}

\cos(\angle DAB) = \frac{2\cdot AB^2 - AB\cdot BD}{2\cdot AD \cdot AB}

\cos(\angle DAB) = \frac{2\cdot AB - BD}{2\cdot AD}
z sinusów:

\frac{\sin(60)}{AD} = \frac{\sin(\angle DAB)}{BD} \Rightarrow \sin(\angle DAB) = \frac{BD}{AD}\cdot \sin(60)

\tg(\angle DAB) = \frac{\sin(\angle DAB)}{\cos(\angle DAB)} = \frac{BD}{AD}\cdot \sin(60) \cdot \frac{2\cdot AD}{2\cdot AB - BD} = \frac{\sqrt{3}\cdot BD}{2\cdot AB - BD} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{2}{5} a}{2a-\frac{2}{5}a} = \frac{\sqrt{3}\cdot 2 }{8}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: wyznacz tangens
PostNapisane: 19 kwi 2014, o 12:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 364
Lokalizacja: Warszawa
Można jeszcze inaczej, wydaje mi się, że mniej brutalnie :wink: .
Oznaczmy x jako długość odcinka |AD|
\alpha jako kąt \angle DAB
Ze stosunków pól otrzymujemy:

\frac{\frac{1}{2}ax\sin \alpha}{\frac{1}{2}ax\sin (\frac{\pi}{3}-\alpha)}=\frac{2}{3} \\ 
3\sin \alpha=2\sin (\frac{\pi}{3}-\alpha) \\ 
2(\sin \frac{\pi}{3}\cos \alpha-\sin \alph\alpha \cos \frac{\pi}{3})=3\sin \alpha \\ \sqrt{3}\cos \alpha-\sin \alpha =3\sin \alpha \\ 
\sqrt{3}\cos \alpha =4\sin \alpha \\ \tg \alpha =\frac{\sqrt{3}}{4}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: wyznacz tangens
PostNapisane: 20 kwi 2014, o 10:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6249
Rozwiazanie z zastosowaniem geometrii analitycznej.

Trójkąt równoboczny o boku a umieszczam w układzie współrzędnych tak że:
A=\left( 0, \frac{ \sqrt{3} }{2} a\right)  \wedge B=\left( - \frac{a}{2},0 \right) \wedge C=\left(  \frac{a}{2},0 \right)\wedge D=\left( - \frac{a}{10},0 \right)
Niech kąt BAD to \gamma

Wersja I (z zastosowaniem wektorów)

\tg\gamma= \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}= \frac{ \frac{\left|  \vec{AB} \times  \vec{AC}  \right| }{\left| AB\right|\left| AD\right|  } }{\frac{  \vec{AB} \circ  \vec{AC}   }{\left| AB\right|\left| AD\right|}}= \frac{\left|  \vec{AB} \times  \vec{AC}  \right|}{ \vec{AB} \circ  \vec{AC}}= \frac{\left| \left[ - \frac{a}{2},-\frac{ \sqrt{3} }{2} a  \right]  \times \left[- \frac{a}{10},- \frac{ \sqrt{3} }{2} a \right]  \right| }{ \left[ - \frac{a}{2},-\frac{ \sqrt{3} }{2} a  \right]  \tcirc \left[- \frac{a}{10},- \frac{ \sqrt{3} }{2} a \right]}=
=\frac{ |\frac{ \sqrt{3} }{4}a ^{2} -\frac{ \sqrt{3} }{20}a ^{2} |}{\frac{ 1 }{20}a ^{2}+\frac{ 3 }{4}a ^{2}}= \frac{ \frac{4 \sqrt{3} }{20} a ^{2} }{\frac{16}{20} a ^{2}}= \frac{ \sqrt{3} }{4}

Wersja II (z zastosowaniem współczynników kierunkowych prostej)

Niech kąt BAD to \gamma, kąt ADC to \alpha a kąt ABC to \beta

Z trójkąta ABD mam
\gamma=180- \beta -(180- \alpha )= \alpha - \beta
stąd
\tg\gamma=\tg\left(  \alpha - \beta \right)= \frac{\tg \alpha -\tg \beta }{1+\tg \alpha \tg \beta }=....
gdzie \tg \alpha to wspólczynnik kierunkowy prostej przechodzęcej przez A i D (ma ona równanie y= 5\sqrt{3}x+ \frac{ \sqrt{3} }{2} ), a \tg  \beta to wspólczynnik kierunkowy prostej przechodzęcej przez A i B (o równaniu y= \sqrt{3}x+ \frac{ \sqrt{3} }{2} ).
Wstawiając te wspólczynniki kierunkowe do poszukiwanego tangensa :
\tg\gamma=\tg\left(  \alpha - \beta \right)= \frac{\tg \alpha -\tg \beta }{1+\tg \alpha \tg \beta }= \frac{5 \sqrt{3}- \sqrt{3}  }{1+5 \sqrt{3}\sqrt{3}}= \frac{ \sqrt{3} }{4}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz tangens  lew487  9
 Wektory - wyznacz, wykaż  dawids13  0
 wyznacz współrzędne wektora  Fjodor  1
 wyznacz współrzędne punktu - zadanie 7  ann_mary  2
 Wyznacz płaszczyznę  spammer  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl