szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2014, o 01:41 
Użytkownik

Posty: 318
Lokalizacja: Gniezno
Dany jest okrąg o równaniu: x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0 Napisz równania stycznych do tego okręgu, przechodzących przez początek układu współrzędnych

S=(-2;3)  \wedge  r=2

Mam problem z tym jak wyznaczyć styczną x=0 oczywiście widać to odrazu z rysunku, że jest taka styczna, ale jak ją wyznaczyć przecież nie mogę sobie tak napisać.

Bo tą drugą styczną wyznaczyłem z tego, że środek okręgu jest odległy od tej stycznej o długość promienia, a prosta przechodząca przez środek układu współrzędnych ma równanie: y=ax

\frac{|-2a+3|}{\sqrt{a^{2}+1}}=2  \Rightarrow |-2a+3|=2\sqrt{a^{2}+1}

i to po podniesieniu do kwadratu:

4a^{2}+12a+9=4a^{2}+4  \Rightarrow a=-\frac{5}{12}

Zatem: y=-\frac{5}{12}x

Ale jak wyznaczyć tą styczną x=0 ??? Ona też jest oddalona od środka o r=2, ale nie mam pojęcia dlaczego wychodzi mi tylko jedna styczna z tego i co zrobić żeby otrzymać tą drugą.

Ogólnie moglibyście mi powiedzieć taki schemat jak wyznacza się zwykle styczne do okręgu, żebym wiedział.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2014, o 02:04 
Moderator

Posty: 2041
Lokalizacja: Trzebiatów
Proste przechodzące przez początek układu współrzędnych są postaci y = ax (z wyjątkiem pionowej prostej x = 0. Ten przypadek musisz rozpatrzeć osobno.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2014, o 02:11 
Użytkownik

Posty: 318
Lokalizacja: Gniezno
Zahion napisał(a):
Proste przechodzące przez początek układu współrzędnych są postaci y = ax (z wyjątkiem pionowej prostej x = 0. Ten przypadek musisz rozpatrzeć osobno.


sam to zauważyłem, gdybym wiedział jak rozpatrzyć ten przypadek osobno to tego tematu by nie było..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2014, o 02:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6633
Jest kilka sposobów na obliczanie stycznych.

1. Najczęściej tworzy się układ równań:
\begin{cases} rownanie \ prostej\\rownanie \ okregu\end{cases}
który ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie (po podstawieniu masz równanie kwadratowe którego delta ma być zerem)

Jeśli prostą przedstawisz w postaci kierunkowej (u Ciebie to \ y=ax ) to w sytuacji szególnej (a taką Ty właśnie masz) uzyskasz tylko jedną styczną. Gdy podasz tam postać ogólną \ Ax+By=0 to podstawienie \ y= \frac{A}{B} x jest możliwe tylko dla B różnego od zera. Osobno rozpatrujesz sytuacje dla B=0 otrzymując drugą styczną.

2. Można też tak:
Niech odległość między środkiem okręgu a punktem (p,q) przez który ma przechodzić styczna wynosi 2R, a środek tego odcinka to punkt (m,n). Punkty wspólne okręgu i stycznej można wyliczyć z układu:
\begin{cases} rownanie \ okregu  \ o \ srodku \ (m,n) \  i \ promieniu \ R \\ rownanie \ danego \ okregu \end{cases}
Po ich obliczeniu zadanie sprowadza sie do wyliczenia równań prostych przechodzących przez dwa punkty.
3. Napiszę kolejne, jeśli te wyżej Cię nie satysfakcjonują.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2014, o 03:03 
Moderator

Posty: 2041
Lokalizacja: Trzebiatów
W pierwszym masz błąd, bo a =  \frac{5}{12}. Ponadto odczytywanie takich rzeczy z rysunku jest ponoć dozwolone ( tak robił mój nauczyciel.). Jeśli prosta jest styczna to ze wzoru na długość odcinka musi ona wynosić r=2. A jaka jest odległość prostej x=0 od punktu S(-2;3). Nie trzeba nawet nic liczyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2014, o 17:58 
Użytkownik

Posty: 318
Lokalizacja: Gniezno
Zahion napisał(a):
W pierwszym masz błąd, bo a =  \frac{5}{12}. Ponadto odczytywanie takich rzeczy z rysunku jest ponoć dozwolone ( tak robił mój nauczyciel.). Jeśli prosta jest styczna to ze wzoru na długość odcinka musi ona wynosić r=2. A jaka jest odległość prostej x=0 od punktu S(-2;3). Nie trzeba nawet nic liczyć.


a=-\frac{5}{12}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2014, o 22:03 
Moderator

Posty: 2041
Lokalizacja: Trzebiatów
Pan Wolframalpha mówi inaczej.
Kod:
1
https://www.wolframalpha.com/input/?i=|-2a%2B3|%3D2sqrt%28a^2%2B1%29
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2014, o 22:30 
Użytkownik

Posty: 318
Lokalizacja: Gniezno
Dreamer1x6xX napisał(a):
Zahion napisał(a):
W pierwszym masz błąd, bo a =  \frac{5}{12}. Ponadto odczytywanie takich rzeczy z rysunku jest ponoć dozwolone ( tak robił mój nauczyciel.). Jeśli prosta jest styczna to ze wzoru na długość odcinka musi ona wynosić r=2. A jaka jest odległość prostej x=0 od punktu S(-2;3). Nie trzeba nawet nic liczyć.


a=-\frac{5}{12}


No to pomóż mi znaleźć błąd...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2014, o 22:37 
Moderator

Posty: 2041
Lokalizacja: Trzebiatów
(-2a+3)^{2}=4a^{2}-12a+9. Sprawdz u siebie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2014, o 23:04 
Użytkownik

Posty: 318
Lokalizacja: Gniezno
Zahion napisał(a):
(-2a+3)^{2}=4a^{2}-12a+9. Sprawdz u siebie.



Jeju, tyle to ja też wiem, że tu jest błąd, ale gdzieś jest błąd w liczeniu, bo tak czy siak równanie stycznej jest: y=-\frac{5}{12} -> więc gdzie źle podstawiłem do wzoru?

PS: Tak samo mam w moim drugim temacie, i za cholerę nie mogę znaleźć błędu którego popełniłem tam też mam przeciwny znak: a ;/
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 współrzędne punktu należącego do okręgu  zXielony  2
 Określ wzajemne położenie prostej k i okręgu o, gdy:  91patii  7
 Równania prostych, okręgu; styczne do okręgu itp.  night_crawler  1
 Środek okręgu - zadanie 12  madzia_wawa  1
 Napisz równanie stycznych do okregu  dragon200  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl