szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2014, o 16:37 
Użytkownik

Posty: 131
Lokalizacja: Katowice
Mamy zadanie:
"Wyznacz dziedzinę funkcji: \sqrt{ \frac{x^2+6x}{4-x^2} + 1 } + \frac{1}{ \sqrt{-x} }."
Moje podejście:

\sqrt{-x}: x<0

\sqrt{ 4-x^2 } >0: -2 < x < 2

x^2+6x+4-x^2=6x+4 \geq 0  \rightarrow x \geq -\frac{2}{3}

Otrzymujemy \mathbb{D}= \left\langle  -\frac{2}{3};0 \right).

Tymczasem założenia w książce są inne:

4-x^2 \neq 0  \wedge x<0 \wedge \frac{x^2+6x}{4-x^2}+1 \geq 0

\mathbb{D}= \left( -\infty ; -2 \right)  \cup \left\langle  -\frac{2}{3};0 \right).

Moje pytanie brzmi:
Moje założenia dobrałem do bezpośrednio podanego wyrażenia, tj. \sqrt{ 4-x^2 } >0.
Natomiast autorzy w podanym wyrażeniu najpierw usunęli niewymierność z mianownika i dopiero potem wykonali założenia tj. 4-x^2 \neq 0. Stąd różnica w wynikach. Czy tak powinno się robić: najpierw usunąć niewymierność z mianownika i dopiero wtedy szukać dziedziny? Znajduje tu zastosowanie jakaś ogólna reguła?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2014, o 17:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5697
Autorzy zastosowali ogólne reguły w problematycznym wyrażeniu (nie usuwali niewymierności) :
Mianownik różny od zera:
4-x ^{2} \neq 0
Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia ma być nieujemne:
\frac{x ^{2}+6x}{4-x ^{2}} +1\ge 0

Po ich rozwiązaniu dostajesz książkową odpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2014, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 131
Lokalizacja: Katowice
Tylko powtórzyłeś, co już napisałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2014, o 18:17 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
pacman7c3 napisał(a):
Moje założenia dobrałem do bezpośrednio podanego wyrażenia, tj. \sqrt{ 4-x^2 } >0.

Takie wyrażenie nie występuje w Twoim zadaniu.

pacman7c3 napisał(a):
Natomiast autorzy w podanym wyrażeniu najpierw usunęli niewymierność z mianownika

Autorzy nie usuwali niewymierności z mianownika, tylko zastosowali ogólne reguły: "wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne" i "wyrażenie w mianowniku musi być niezerowe".

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2014, o 18:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5697
Mylisz się, wyjaśniłem skąd wzięli założenia.
Ty rozbijając
\sqrt{ \frac{x^2+6x}{4-x^2} + 1 }
na
\frac{ \sqrt{6x +4} }{ \sqrt{4-x^2} }
wykonujesz prawidłowe przekształcenie, ale dziedziny tego wyrażenia przed i po przekształceniu sią różne.
Dziedzinę równania liczy się od pierwotnej postaci, a Ty policzyłeś od postaci wtórnej.

Prosty przykład:
F(x)= \frac{x}{x}+3x ma dziedzinę: x \in R \setminus \left\{ 0\right\}
a po przekształceniu:
F(x)=1+3x ma dziedzinę: x \in R

Która jest dziedziną tej funkcji? Oczywiście pierwsza.
Wniosek:
Należy liczyć dziedzinę przed jakimikolwiek przekształceniami.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz dziedzinę funkcji - zadanie 2  zientek  4
 Wyznacz dziedzinę funkcji - zadanie 4  Franio  1
 Wyznacz dziedzine funkcji  Szymek10  1
 Wyznacz dziedzinę funkcji - zadanie 8  Marioo  6
 wyznacz dziedzinę funkcji - zadanie 9  grzywula  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl