szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2014, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Polska
Wykaż że w jeżeli
\alpha +\beta +\gamma=\pi
to
\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma=4\cos \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \beta }{2}\cos \frac{\gamma}{2}

Proszę o rozwiązanie z dokładnym wytłumaczeniem
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 maja 2014, o 08:36 
Użytkownik

Posty: 331
Lokalizacja: Warszawa
Korzystając ze wzorów na sumę i różnicę dwóch sinusów na początek mamy:

\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma - \sin \left(\alpha+ \beta + \gamma \right)=2\sin \frac{\alpha+ \beta }{2}\cos \frac{ \alpha - \beta }{2} - 2\sin \frac{\alpha+ \beta }{2}\cos\left ( \gamma+\frac{ \alpha +\beta }{2}\right)

Teraz wyciągamy wspólny czynnik przed nawias i korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów:

=2\sin \frac{\alpha+ \beta }{2} \left[\cos \frac{ \alpha - \beta }{2} - \cos\left ( \gamma+\frac{ \alpha +\beta }{2}\right) \right]=4\sin \frac{\alpha+ \beta }{2}\sin \frac{\alpha+ \gamma }{2}\sin \frac{\beta+ \gamma }{2}

Mamy więc tożsamość spełnioną dla dowolnych kątów:

\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma - \sin \left(\alpha+ \beta + \gamma \right)=4\sin \frac{\alpha+ \beta }{2}\sin \frac{\alpha+ \gamma }{2}\sin \frac{\beta+ \gamma }{2}

Do której możemy podstawić po lewej stronie:

\alpha + \beta + \gamma =  \pi a \sin  \pi  =0

A po prawej kolejno:

\frac{\alpha+ \beta }{2} =  \frac{ \pi }{2} -  \frac{\gamma}{2} i tak dalej..

co przy wykorzystaniu \sin  \left( \frac{ \pi }{2} - \phi\right)  = \cos \phi

Da nam Twoją równość.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij równanie  brolly  3
 2 dowody do udowodnienia  krzysiu776  1
 mały fakt  mol_ksiazkowy  7
 Równanie okręgu - zadanie 12  seba1420  3
 Funkcje trygonometryczne - zadanie 7  andzia92  2
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl