szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 maja 2014, o 20:36 
Użytkownik

Posty: 71
Lokalizacja: Barczewo
Z punktu P należącego do boku AB trójkąta równobocznego ABC poprowadzono półprostą dzieląca trójkąt na dwie figury o równych polach. Oblicz tangens kąta jaki tworzy ta półprosta z odcinkiem \left| AP\right|, jeśli \frac{\left| AP\right| }{\left| PB\right| }=m , m \neq 1
Nie wiem czy półprosta przechodzi przez drugi bok lub wierzchołek.
Bo jeśli przez wierzchołek, to automatycznie mają wspólną wysokość, a jak przez drugi bok to sprawa się komplikuje, bo jest trójkat i czworokąt, a pól ich nie przyrównam bo będą tworzyć się dodatkowe wyrażenia.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 maja 2014, o 22:24 
Użytkownik

Posty: 1536
Lokalizacja: Sosnowiec
W założeniach masz m\neq 1. Oznacza to, że P nie jest środkiem odcinka AB, a tylko w tym przypadku półprosta przechodziłaby przez wierzchołek.

Jeśli m<1, to półprosta przechodzi przez bok BC.
Jeśli m>1, to półprosta przechodzi przez bok AC.

Rozważmy pierwszy przypadek m<1.
Oznaczmy punkt przecięcia naszej półprostej z bokiem BC przez Q i oznaczmy \angle BPQ=\alpha.

Łatwo wyliczyć, że PB=\frac{AB}{m+1}.
Dalej z twierdzenia sinusów w trójkącie BPQ

\frac{BQ}{\sin\alpha}=\frac{PB}{\sin(120^{\circ}-\alpha)}
BQ=PB \frac{\sin\alpha}{\sin(120^{\circ}-\alpha)}

P - pole trójkąta ABC
P_1 - pole trójkąta BPQ

P=\frac{{AB}^2\sqrt{3}}{4}
P_1=\frac{1}{2}PB\cdot BQ \sin 60^{\circ}=\frac{{PB}^2 \sqrt{3}\sin\alpha}{4\sin(120^{\circ}-\alpha)}=\frac{{AB}^2 \sqrt{3}\sin\alpha}{4(m+1)^2 \sin(120^{\circ}-\alpha)}

Mamy zatem równanie
\frac{1}{2}P=P_1
\frac{{AB}^2\sqrt{3}}{8}=\frac{{AB}^2 \sqrt{3}\sin\alpha}{4(m+1)^2 \sin(120^{\circ}-\alpha)}
(m+1)^2 \sin(120^{\circ}-\alpha)=2\sin\alpha

Przypadek m>1 da się sprowadzić do pierwszego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz tangens kąta  wbb  1
 Oblicz tangens kąta - zadanie 2  mostostalek  3
 oblicz tangens kąta - zadanie 3  zalzal  1
 Oblicz tangens kąta - zadanie 4  hansolo92  1
 Oblicz tangens kąta - zadanie 5  Lame  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl