szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 maja 2014, o 23:29 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Rzeszów
Witam :) mam zadanie do rozwiązania, najlepiej na jutro. Nie mogę poradzić sobie z dowodem
Udowodnić że dla każdej liczby naturalnej n jest prawdziwe równanie
1 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3^{2}+...+n(n+1)^{2}=\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2014, o 23:30 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Jak przeprowadza się dowód indukcyjny?
Jakie są kolejne kroki?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 maja 2014, o 23:38 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Rzeszów
Składa się on z dwóch części:

- najpierw sprawdzamy czy teza którą chcemy dowieść jest prawdziwa dla liczby n_{0}

- jeżeli tak to przyjmujemy że teza jest także prawdziwa dla pewnej liczby k \geq  n_{0} i na tej podstawie dowodzimy, że teza jest prawdziwa również dla liczbyk+1 (czyli następnej liczby po k).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2014, o 23:41 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
No to w czym problem.
Pierwszą część od razu widać. Pokaż co nie wychodzi drugim krokiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2014, o 23:45 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Toruń
Sprawdzasz prawdziwość twierdzenia dla najmnieszej liczby naturalnej(krok pierwszy) a następnie (krok drugi)wykazujesz,że dla każdej liczby naturalnej n, nie mniejszej od tej najmniejszej(z pierwszego kroku) z prawdziwości tego twierdzenia dla n wynika jego prawdziwość dla n+1.
Czasem warto, sprawdzając prawdziwość tego twierdzenia dla najmniejszej liczby naturalnej(szczególnie wtedy,gdy jest to oczywiste!)pokazać ,że z prawdziwości tego twierdzenia dla tej liczby wynika jego prawdziwość dla kolejnej ,bo często występujący tu motyw,przenosi się w rozumowaniu ogólnym(tym drugim kroku,o którym pisałem wyżej).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 maja 2014, o 23:51 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Rzeszów
1 \cdot 2^{2}+2 \cdot 3^{2}+ \ldots+n(n+1)^{2}+(n+1)(n+2)^{2}=\frac{1}{12}(n+1)(n+2)(n+3)(3n+8)
następnie
1 \cdot 2^{2}+2 \cdot 3^{2}+ \ldots+n(n+1)^{2}+(n+1)(n+2)^{2}=\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)+ \ldots
i jak dobrze myślę
+(n+1)(n+2)^{2}
ale nie wiem jak to rozpisać żeby ładnie my wynik wyszedł.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 maja 2014, o 18:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 364
Lokalizacja: Warszawa
1 \cdot 2^{2}+2 \cdot 3^{2}+ \ldots+n(n+1)^{2}+(n+1)(n+2)^{2}=\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)+ +(n+1)(n+2)^{2}
Rozpiszę prawą stronę:
\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)+(n+1)(n+2)^{2}=(n+1)(n+2)[\frac{1}{12}n(3n+5)+n+2]=\frac{1}{12}(n+1)(n+2)(3n^2+5n+12n+24)=\frac{1}{12}(n+1)(n+2)(3n^2+17n+24)=\frac{1}{12}(n+1)(n+2)(n+3)(3n+8)
cnd.

Czynnik (3n^2+17n+24) można oczywiście rozpisać licząc \Delta-ę, itd.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja matematyczna - zadanie 26  anibod  2
 Indukcja matematyczna - zadanie 29  magda_5  3
 indukcja matematyczna - zadanie 3  bonitka  2
 indukcja matematyczna - zadanie 23  kalik  1
 indukcja matematyczna  pandaboy  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl