szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2014, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 177
Lokalizacja: Suwałki / Białystok
Niech X będzie dowolnym, niepustym zbiorem, zaś \mathcal{U} - rodziną podzbiorów zbioru X (tzn. \mathcal{U} \subseteq 2^X). Parę uporządkowaną (X, \mathcal{U}) nazywamy przestrzenią topologiczną, zaś \mathcal{U} - topologią na zbiorze X \Leftrightarrow spełnione są warunki:
(T1) \emptyset \in \mathcal{U} oraz X \in \mathcal{U};
(T2) Niech I będzie dowolnym zbiorem, co do mocy. Jeśli U_i \in \mathcal{U}, dla każdego i \in I, to również \bigcup_{i\in I} U_i \in \mathcal{U};
(T3) Jeżeli U_1, U_2 \in \mathcal{U}, to również U_1 \cap U_2 \in \mathcal{U}.

Każdy zbiór U\in \mathcal{U} nazywamy zbiorem otwartym przestrzeni topologicznej (X, \mathcal{U}) lub po prostu zbiorem otwartym w topologii \mathcal{U}, zaś każdy zbiór F, taki że X\setminus F \in \mathcal{U} nazywamy zbiorem domkniętym przestrzeni topologicznej (X, \mathcal{U}) lub po prostu zbiorem domkniętym w topologii \mathcal{U}.

Jak wynika z aksjomatów, zbiór pusty oraz cała przestrzeń są zawsze zbiorami otwartymi, suma dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, jeżeli zaś idzie o przecięcie, to z (T3) wynika jasno, że przecięcie jedynie skończonej liczby zbiorów otwartych musi być zbiorem otwartym.

Przechodząc do dopełnień i korzystając z praw de Morgana, stwierdzamy na podstawie aksjomatów (T1)-(T3), że:
(F1) \emptyset oraz X są zbiorami domkniętymi;
(F2) Niech I będzie dowolnym zbiorem, co do mocy. Jeśli F_i jest zbiorem domkniętym, dla każdego i \in I, to również \bigcap_{i\in I} F_i jest zbiorem domkniętym;
(T3) Jeżeli F_1, F_2 są zbiorami domkniętymi, to również F_1 \cup F_2 jest zbiorem domkniętym.

Warto tu odnotować, że w dowolnej przestrzeni topologicznej mogą istnieć następujące klasy zbiorów:
(i) zbiory otwarte, które nie są jednocześnie domknięte;
(ii) zbiory domknięte, które nie są jednocześnie otwarte;
(iii) zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte (nazywa się je otwarto-domkniętymi);
(iv) zbiory, które nie są ani otwarte, ani domknięte.

W każdej przestrzeni istnieją co najmniej dwa zbiory otwarto-domknięte: są to zbiór pusty oraz cała przestrzeń.

Przykład 1. Rozważmy zbiór liczb rzeczywistych \mathbb{R} wraz z rodziną \mathcal{U}, w skład której wchodzą zbiór pusty, przedziały otwarte oraz sumy przedziałów otwartych. Ponieważ cały zbiór \mathbb{R} jest sumą przedziałów otwartych, suma dowolnej liczby zbiorów z \mathcal{U} jest zbiorem należącym do \mathcal{U} (suma sum przedziałów otwartych jest sumą przedziałów otwartych), zaś przecięcie dwóch sum przedziałów otwartych jest sumą przedziałów otwartych, przedziałem otwartym lub zbiorem pustym, stwierdzamy, że (\mathbb{R}, \mathcal{U}) jest przestrzenią topologiczną. Nazywamy ją (jednowymiarową) przestrzenią euklidesową i oznaczamy często przez E. W przestrzeni tej:
(i) (1, 3), (0, \sqrt{2}) \cup (\pi, 5), (-2, \infty), (-\infty, 1)\cup(1, \infty) są zbiorami otwartymi, ale nie są zbiorami domkniętymi;
(ii) [1,3], [2,5]\cup[11,145], (-\infty, 2], (-\infty, 2]\cup[3, \infty) są zbiorami domkniętymi, ale nie są zbiorami otwartymi;
(iii) nie ma zbiorów, które są jednocześnie otwarte i domknięte, innych niż zbiór pusty oraz \mathbb{R};
(iv) \{-5\}, [2, 3), (1, 7)\cup\{11\}, \mathbb{Q} nie są ani zbiorami otwartymi, ani domkniętymi.

Zauważmy, że w przestrzeni (\mathbb{R}, \mathcal{U}) przecięcie nieskończonej liczby zbiorów otwartych może być zbiorem domkniętym. Istotnie, na przykład:
\bigcap_{i=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) = \{0\},
a \{0\} jest w tej przestrzeni zbiorem domkniętym, jako że \mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty, 0)\cup(0, \infty) jest zbiorem otwartym.
Podobnie w (\mathbb{R}, \mathcal{U}) suma nieskończonej liczby zbiorów domkniętych może okazać się zbiorem otwartym. Na przykład:
\bigcup_{i=3}^{\infty} \left[\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n} \right] = (0,1),
a (0, 1) jest zbiorem otwartym, jako że jest przedziałem otwartym.

Przykład 2. Niech X będzie dowolnym zbiorem co najmniej dwuelementowym. Przestrzeń (X, 2^X) nazywamy przestrzenią dyskretną. W przestrzeni tej:
(i) każdy zbiór jest zbiorem otwartym, jako że 2^X jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X;
(ii) każdy zbiór jest zbiorem domkniętym, jako że dla każdego F, zbiór X\F jest zbiorem otwartym, gdyż każdy zbiór jest otwarty w X;
(iii) w związku z (i) i (ii) każdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty;
(iv) nie ma zbiorów, które nie są ani otwarte, ani domknięte.

Przykład 3. Niech X będzie dowolnym zbiorem co najmniej dwuelementowym. Przestrzeń (X, \{\emptyset, X\}) nazywamy przestrzenią antydyskretną. W przestrzeni tej:
(i) jedynie zbiór pusty i X są zbiorami otwartymi;
(ii) jedynie zbiór pusty i X są zbiorami domkniętymi;
(iii) jedynie zbiór pusty oraz X są zbiorami otwarto-domkniętymi;
(iv) każdy zbiór \emptyset \subsetneq A \subsetneq X nie jest zbiorem ani otwartym, ani domkniętym.

Przykład 4. Niech X:=\{a, b\}, \mathcal{U}:=\{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}. Łatwo sprawdzić, że tak określone (X, \mathcal{U}) jest przestrzenią topologiczną. Nazywamy ją przestrzenią Sierpińskiego lub przestrzenią dwupunktową Aleksandrowa. W przestrzeni tej:
(i) \emptyset, \{a\}, \{a, b\} są wszystkimi zbiorami otwartymi;
(ii) \emptyset, \{b\}, \{a, b\} są wszystkimi zbiorami domkniętymi;
(iii) jedynie \emptyset oraz \{a, b\} są zbiorami jednocześnie otwartymi i domkniętymi;
(iv) nie ma zbiorów, które nie są ani domknięte, ani otwarte.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiory induktywne  Jakub Gurak  0
 2 zbiory na płaszczyźnie  stachoo0  7
 zbiory Zwarte - zadanie 2  x88x  2
 Rozmaitości topologiczne  kasieńka3  2
 Zbiory - odpowiedni zapis  Mariusz1234  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl