szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Päl Erdős
PostNapisane: 18 cze 2014, o 12:52 
Użytkownik

Posty: 5608
Lokalizacja: Kraków
Päl Erdős (1913- 1996) właść. Englander; matematyk

Cytuj:
Matematyk to narzędzie służące do zamieniania kawy w twierdzenie


Ze względu na swoja pomysłowość oraz intuicję matematyczną nazywany był też czarodziejem z Budapesztu bądź też „nałogowym matematykiem”.
Ekscentryczny Erdős znalazł się w top five matematyków (Euler, Cauchy, Cayley i Sierpiński...) autorów, którzy najwięcej opublikowali…
Najważniejsi współpracownicy Erdősa:
Anning, Bollobás, de Bruijn, Fejér, Gallai, Kalmár, Kátai, Lovász, Mordell, Rényi, Szegő, Szekeres, Szemerédi, Turán.


Zainteresowania Erdősa były różnorodne, ale głownie to była
kombinatoryka (np. twierdzenie Erdősa Ko Rado) oraz teoria grafów jak i algebra oraz geometria, grafy (grafy losowe, twierdzenie Erdösa-Chvátala itd). Ale także analiza, teoria aproksymacji, i inne. Choć wydaje się to niemożliwym jest on autorem ok. 1500 artykułów (w tym m.in. z 485 współautorami).

Cytuj:
Erdős bardzo wiele przemieszczał się po całym świecie. Znany był z tego, że często stawiał ciekawe problemy matematyczne, czasami sam nie mógł ich rozwiązać. Opublikował ogromną liczbę artykułów napisanych wraz z innymi matematykami. W związku z tym powstał element matematycznego folkloru, tak zwana liczba Erdősa


Liczba Erdősa
Cytuj:
Sam Erdős ma liczbę Erdősa równą zero. Około 500 matematyków ma liczbę Erdősa „jeden”- to znaczy, że maja artykuł wspólnie z Erdősem. Około 5600 matematyków ma liczbę Erdősa „dwa”. Pisali oni coś wspólnie z kimś, kto pisał wspólnie z Erdősem. …wszyscy mający Fieldsa za osiągnięcia w matematyce mają liczbę Erdősa poniżej „sześciu”. Ronald Graham ma liczbę Erdősa „jeden”, liczba Erdősa Andrew Wilesa wynosi „cztery”. Nikt ani wczesniej, ani też później nie opublikował tylu co Paul Erdős artykułów pisanych wspólnie z innymi matematykami


Księga - to według Erdősa szczególne miejsce, w którym spisane są dowody wszystkich twierdzeń;
Cytuj:
Pan Bóg ma pozaskończoną Księgę, w której zapisane są wszystkie dowody matematyczne i gdy jest dla nas szczególnie łaskawy, pokazuje nam jej mały fragment.


Słowniczek Erdősa!
„epsilon” - początkujący matematyk
„władcy” - kobiety
„tortury” - egzamin
„hałas” - muzyka
„trucizna” - alkohol
„faszysta” - ktoś kto przeszkadza; „SF”=Bóg
itd.

Cytuj:
na „E” jest trzech matematyków: Euklides, Euler i Erdős...


Uwagi: więcej o Erdősie w filmie „N is a number

Zadanie „inicjacyjne” Erdősa (dla „epsilonów”)
Dany jest zbiór A=\{1,2,...,2n \} i z tego zbioru wybrano w dowolny sposób liczby a_1, .... a_n, a_{n+1}. Wtedy wśród tych liczb są dwie takie, że jedna z nich jest dzielnikiem drugiej.
Rozwiązanie: proste użycie zasady szufladkowej

poniższy wynik jest też raczej elementarny ...
Twierdzenie (Erdős)
Jeśli f: \NN \to \RR jest funkcją taką, że f(1)=0 oraz f(mn) = f(m)+f(n) dla dowolnych m, n; to istnieje M>0 taka że f(n)=M \ln (n)


Niektóre rezultaty Erdősa w teorii liczb:
Erdős znalazł elementarny dowód twierdzenia Czebyszewa o tym, że gdy n>1 to przedziale (n, 2n) jest choć jedna liczba pierwsza. Wykazał też, że „iloczyn kolejnych liczb całkowitych dodatnich nigdy nie jest kwadratem (z E. Rigge’m) ani żadną inną potęgą (z J. Selfrigde)”, tzn. że nie istnieją liczby naturalne x, y, z, k:
(x+1)…(x+k) = y^z oraz z \geq 2 oraz k \geq 2.
W teorii liczb pierwszych wykazał np. że P(n+1) \geq P(n) (gdzie P(n) to ilość przedstawień n jako sumy liczb pierwszych). Razem z L. Kalmárem udowodnili, że p_n^2 > p_{n-1}  p_{n+1} dla nieskończenie wielu n jak i p_n^2 < p_{n-1}  p_{n+1 } też dla nieskończenie wielu n. Pal wykazał też, że dla k>1 istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych, które są iloczynami k różnych liczb pierwszych. Podał też oszacowania dla funkcji \omega(n) (z M. Kacem) oraz \pi(n) (z A. Selbergiem)
Ale znane jest także:
Twierdzenie Erdős
Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to w każdym zbiorze 2p -1 liczb całkowitych istnieje p takich, których suma podzielna jest przez p.

Twierdzenie (Erdős, J. Surány)
Każda liczba naturalna k jest sumą:
k = \pm 0^2 \pm 1^2 … + \pm m^2 gdzie m oraz znaki \pm są odpowiednio dobrane (m nie jest wyznaczone jednoznacznie).

Przykład
Zajmował się też równaniami. Erdős wyraził przypuszczenie, że nie istnieją rozwiązania >1 i takie, że x i y są względnie pierwsze równania x^xy^y=z^z; matematyk chiński Chao Ko wykazał że ma ono nieskończenie wiele rozwiązań N, np. x=2^{12}3^{6} \ y=2^{8}3^{8} \ z=2^{11}3^{7}.

Twierdzenie Erdősa Szekeresa: W ciągu zbudowanym z n^2+1 rożnych liczb rzeczywistych występuje podciąg monotoniczny mający n+1 wyrazów*.

* W ogólniejszej wersji: z ciągu 1+ab liczb rzeczywistych jest albo podciąg rosnący o 1+a elementach albo podciąg malejący o 1+b elementach.

Twierdzenie Erdős, Graham - o malowaniu liczb
Jeśli każdej liczbie naturalnej przypisać jakiś kolor i użyć nieskończenie wiele kolorów, to albo istnieją dowolnie długie jednokolorowe postępy arytmetyczne, albo istnieją dowolnie długie „tęczowe” postępy arytmetyczne.
„tęczowe”, czyli takie, że w których każdą liczbę pokolorowano innym kolorem).

Zagadnienia geometryczne
Wśród tego typu problemów są i banalne- jak poniższy i trudne (np. „Nierówność Erdősa Mordella”)...

Problem
Punkt P jest wewnątrz trójkąta ABC oraz AB > BC > AC, jeśli proste AP, BP, CP wyznaczają na bokach BC, AC, AB punkty X, Y, Z to wtedy PX+ PY+PZ < AB.


Wraz z W. Anningiem Pál wykazał interesujące „kombinatoryczno-geometryczne”:
Twierdzenie
Jeżeli na płaszczyźnie jest nieskończony zbiór punktów i odległość pomiędzy każdymi dwoma z nich jest liczbą naturalną to wszystkie te punkty są na jednej prostej. Ponadto można wyznaczyć dowolnie liczny skończony zbiór punktów takich, że żadne trzy nie są na jednej prostej, oraz odległości pomiędzy każdymi dwoma z nich są liczbami naturalnymi.

Wraz z G. Bruijnem udowodnili:
Twierdzenie
Niech P będzie zbiorem n \geq 3 punktów niewspółliniowych na płaszczyźnie. Wtedy zbiór L wszystkich prostych do których należą co najmniej dwa punkty ze zbioru P ma co najmniej n prostych.

(Problem Erdősa) Czy można umieścić n=9 punktów na płaszczyźnie, tak aby żadne trzy z nich nie leżały na jednej linii, żadne cztery nie leżały na jednym kręgu, a odległość między dwoma dowolnymi punktami była liczbą całkowitą ?
(Oryginalne sformułowanie było przez Erdősa dla n=5 okazał się nietrudny....


Nierozwiązane problemy:
Hipoteza Erdősa-Strausa
Ułamek \frac{4}{n} jest sumą trzech ułamków prostych (tj. istnieją liczby naturalne x, y, z że \frac{4}{n}= \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}), co sprawdzono komputerowo dla n < 10^{14} i dla wielu innych (np. dla n parzystych). Problem ten sprowadza się do równania diofantycznego \frac{4xyz}{xy+yz+zx}=n. Problem można zredukować do liczb n będących liczbą pierwszą (R. Obláth) itd.

Inna hipoteza: Jeśli a_1<  a_2 <a_3 < .... jest ciągiem liczb naturalnych, i każda liczba naturalna jest równa a_i+ a_j dla jakichś i, j to ilość tych przedstawień liczb naturalnych w postaci takich sum nie jest ograniczona z góry.
Problem rozwiązany, ale tylko częściowo (Choi i Chu)

Twierdzenie i hipoteza Erdősa-Szekeresa
Jeśli n >2 to istnieje najmniejsza taka liczba N(n), iż spośród dowolnych N(n) punktów na płaszczyźnie; żadne trzy nie są współliniowe; istnieje n takich, iż są one wierzchołkami wielokąta wypukłego. Hipoteza iż N(n)= 2^{n-2}+ 1 jest udowodniona jedynie dla n \leq 5.

Hipoteza Erdősa
Niech A \subset N taki, że: \sum_{n \in A} \frac{1}{n} = +\infty to wtedy dla dowolnego k \in N w zbiorze A istnieje k-elementowy postęp arytmetyczny.
Uwagi:
Szemerédi wykazał ją dla zbiorów A takich, że A \cap \{1, ..., n \} ma co najmniej \lfloor an \rfloor elementów dla jakiegoś a>0 i n dostatecznie dużych.

Erdős zajmował się też liczbami R(n, m) (teoria Ramsey’a ); ich asymptotyką, postawił m.in. pytanie o istnienie \lim \sqrt[n]{ R(n, n)}.


….quotes(c)
Cytuj:
My brain is open!

Cytuj:
What is the purpose of Life? - Proof and conjecture, and keep the SF's score low.

Cytuj:
Another roof, another proof


Erdös…
Obrazek

Ukryta treść:    
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Päl Erdős
PostNapisane: 20 cze 2014, o 23:00 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
To jest bardzo fajna publikacja o Erdosie http://www.slideshare.net/Wawa66/naogowy-matematyk
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Päl Erdős
PostNapisane: 21 cze 2014, o 23:30 
Użytkownik

Posty: 5608
Lokalizacja: Kraków
Ponewor: ciekawe źródło.
Cytuj:
Paul Hoffman w swojej ksiazce o Erdosie pt. Man Who Loved only Numbers wspomina, że ów znakomity teoretyk liczb miał bardzo cierpliwa żonę, z która...

kim była ta Pani...? no tu moze być mała niescisłość...
ang wiki podaje:
Cytuj:
He never married and had no children. He is buried next to his mother and father in grave 17A-6-29 at Kozma Utcai Temető in Budapest.[8] For his epitaph, he suggested "I've finally stopped getting dumber." (Hungarian: "Végre nem butulok tovább").[
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Päl Erdős
PostNapisane: 1 sie 2018, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 5608
Lokalizacja: Kraków
Janos Pach
W dwóch miejscach na raz -
wspomnienie o Paulu Erdősie

The Mathematical Intelligencer



(fragmenty)


(...)


Symultaniczne gry
Miał absolutną pamięć nie tylko do liczb. Niegdyś pod koniec 1950 r. w domku gościnnym Węgierskiej Akademii w Mátraháza moj ojciec przedstawił go swemu koledze, którym był historyk Lajos Elekes. Paul, który interesował się niemal wszystkim od razu rozpoczął z nim rozmowę. Miał w zwyczaju pytać ludzi "Czym się zajmujesz ?" Gdy tylko się dowiedział, że Elekes napisał książkę o XV wiecznym węgierskim generale i magnacie Jánosu Hunyadim, kontynuował swe dociekania na temat katastrofy wojsk węgierskich w bitwie z Turcją pod Warną w 1444. Rozmowa musiała być przerwana, prawdopodobnie z powodu lunchu, ale była kontynuowana rok później w tym samym miejscu. Gdy Paul rozpoznał Elekesa od razu zawołał do niego: So why did Hunyadi lost at Varna ?

(...)

Często też widywałem Erdősa i Turána, gdy intensywnie pracowali razem w Mátraháza. Dołączała do nich zwykle Vera Turán-Sos (moja ciotka) oraz Alfréd Rényi którego nazywano 'Buba'. Turán czasami beształ Paula, za to że mówi nensensy lub też powtarza jego pomysły. Paul miał niezwykle bystry umysł i chciał od razu wszystko wyjaśniać czasami przy tym opuszczając coś lub skacząć na inny temat.

(...)


Cudowne dziecko
Paul Erdős urodził się w Budapeszcie 26 marca 1913 roku. Gdy jego matka była wtedy w szpitalu jej trzy i pięciolenie córki zachorowały na szkarlatynę i zmarły. Paul dorastał wychowywany nadopiekuńczo jako jedyne dziecko. Bojąc się zakaźnych chorób jego rodzice nie posłali go do szkół, i większość swej nauki odbywał jako samouk. Oboje jego rodzice byli nauczycielami akademickimi, i sami uczyli Paula,choć zatrudniali też korepetytorów i niemieckie guwernantki. Ojciec Paula dostał się do niewoli w I Wojnie Światowej, i wrócił do Węgier w 1920. Był to pierwszy raz gdy mógł rozmawiać z synem. Wkrótce zaczął uczyć go angielskiego i wprowadził w świat liczb pierwszych. Na prelekcji na Uniwersytecie Eőtvős Paul określił samego siebie jako dziecko słowami 'odrobina talentu'. Gdy miał 4 lata odkrył liczby ujemne, oraz potrafił w pamięci mnożyć przez siebie liczby czterocyfrowe. Mając 13 lat zaczął regularnie rozwiązywać zadania w KőMaL, specjalistycznym piśmie matematycznym skierowanym dla studentów. Pod koniec każdego roku jego zdjęcie było wśród zdjęć studentów odnoszących największe sukcesy.
W 1930 roku został przyjęty na Uniwersytet w Budapeszcie, i w tym samym roku (mając 17 lat!) dokonał swego pierwszego ważnego matematycznego odkrycia: znalazł elementarny dowód znanego twierdzenia Czebyszewa, zgodnie z którym między dowolną liczbą całkowitą większą od 1 a jej podwojeniem jest liczba pierwsza.
Lubił cytować słowa Nathana Fine:

Chebyshev said
and I say it again
There is always prime
between n and 2n.

W swojej rozprawie doktorskiej napisanej pod kierunkiem Leopolda Fejéra, udowodnił niektóre uogólnienia tego twierdzenia. Miał wtedy tylko 21 lat. W czasie studiów poznał matematyków: Tibor Gallai, Gyorgy Szekeres, Paul Turán, którzy zostali jego przyjaciółmi i wieloletnimi współpracownikami. Czesto bywali oni na wykładach Dénesa Kőniga z teorii grafów. Rozwiązując jeden z problemów przedstawionych na tym wykładzie 18 letni Erdős znalazł ekscytujące uogólnienie twierdzenia Mengera do grafów nieskończonych. (Jego dowód był zawarty w klasycznej monografii Kőniga z 1936 r). Rok później Erdős i Szekeres dokonali wspaniałego odkrycia, które doprowadziło do pierwszej ich wspólnej publikacji. Jest obecnie słusznie uważane za zalążek teorii Ramseya i geometrii kombinatorycznej.
W latach od 1934 do 1938, Paul pracował w Menchesterze i jedynie wakacje spędzał na Węgrzech. Często wspominał, że przed wyjazdem do Anglii, nigdy nie musiał smarować masłem kromki chleba. Choć było to łatwym nigdy nie nauczył się jak przygotować sobie posiłek. Niegdyś mieszkałem z Paulem kilka dni u niego. Gdy wieczór wszedłem do kuchni, zobaczyłem przerażający widok. Podłoga była zalana płynem koloru krwi. Ślady wiodły do lodówki. Otworzyłem jej drzwi i ze zdziwieniem zobaczyłem podziurawiony karton soku pomidorowego. Paul chyba chciał się napić i po namyśle zdecydował się rozciąć nożem karton.

Wiele konkursów matematycznych dla uczniów i studentów, sesje zadaniowe KőMaL oraz programy niektórych szkół na Węgrzech wyławiały grupę niezwykle uzdolnionych dzieci. Paul nigdy nie przegapił okazji do rozmowy z nimi. Wśród wielu utalentowanych uczniów, jakich odkrył byli: Atilla Máte, Lajos Pósa i Imre Ruzsa. Pósa był cudownym dzieckiem. Gdy miał 12 lat znakomity węgierski logik i wykładowca Rózsa Peter, przedstawił go Paulowi, to już rok później Erdős i Pósa mieli napisaną wspólną pracę z teorii grafów.
Paul nazywał dzieci "epsilonami". Uwielbiał trzymać je w ramionach. Gdy to robił, pytał zazwyczaj: "Czy to nie niezwykłe jak spokojny jest ten epsilon ?" (Rodzice, zwłaszcza ci, którzy go nie znali byli mniej spokojni).
Na lotniskach, w restauracjach, na ulicach zaczepiał ludzi z małymi dziećmi. "Ile lat ma ten epsilon ?" Bardzo miły! Czy to szef czy niewolnik ? (W tym miejscu ktoś musiał wyjaśnić zaskoczonym rodzicom, że pytanie dotyczy tego czy dziecko jest dziewczynką czy chłopcem, odpowiednio). Jeśli dziecko nie było całkiem młode, mogło uciec bez oglądania poniższej sztuczki. Paul wyciągał z portfela monetę i kłądł ją na grzbiecie dłoni, wytrącał, pozwalając monecie spadać a potem łapał tą samą ręką nim upadła na ziemię. Większość gapiła się z ciekawością doceniając trudność sztuczki lub nie rozumiejąc na czym ona polega. Jednak rzadko płakały.
Kiedy rozmowa zeszła na epsilony, Paul lubił wspominać taką historię. Jego matka zapytała kiedyś jakąś kobietę ile ma dzieci ? "Siedem" - odpowiedziała. Aunty Annus (tak nazywałem matkę Paula), która nigdy nie pogodziła się z utratą swych córek, aprobująco skinęła głową: "więc jest pani bogatą kobietą".

(...)

Gdy Bolyai Mathematical Society świętowało 60 urodziny Erdősa zorganizowano wielką konferencję w Keszthely, z udziałem kilkuset osób. Władze odmówiły zgody na przyjazd gości z Izraela. Paul był wściekły. Zwrócił się do oficjeli wysokiego szczebla i wystosował protest, ale bez efektu. Zaprzysiągł że nie wróci na Węgry przez dłuższy czas. Istotnie powrócił dopiero w 1976 i to jedynie aby odwiedzić swego przyjaciela Paula Turána, który był umierający. (mimo wieloletniego czlonkostwa w Węgierskiej Akademii był też 'visiting professor' na Technion w Hajfie).

Jego "wędrowny styl życia" nie można tłumaczyć jedynie niespokojną naturą. Wybrał wolność i musiał wiele poświęcić. Nie pozwolił nikomu ograniczać swoją wolność i pracę, ani Hitlerowi, ani Joe (tak nazywał Stalina, oraz Rosję i ruch komunistyczny), ani też Samowi (St. Zjednoczone). Nie wierzył w wieczną chwałę supermocarstw, ale nagły upadek Joe'go zaskoczył go. Wiosną 1989 zrobiłem z nim zakład 5000 forintów, że Związek Radziecki rozpadnie się w okresie roku. Przegrałem, choć Paul przyznał że 'wygrałem moralnie'. Dodał też z małym zażenowaniem:

Once Sam and Joe went up the hill
To fetch a pail of water.
And Joe fell down and broke his crown
And Sam came tumbling after.


Złoty wiek
W 1956, Paul został przyjęty do Węgierskiej Akademii Nauk. Mimo że nie przykładał zbytnio wagi do tytułów i rankingów to jednak myślę, że to członkostwo traktował nieco poważniej. Często przylatywał z zagranicy na parę dni, aby brać udział w zebraniach i głosowaniach. Jeśli ktoś został wybrany na członka korespondenta, zwykle gratulował mu w typowy sposób: "Cieszę się, że zostałeś półbogiem!"
Kilka razy w roku Paul z matką spędzał parę tygodni w domku gościnnym Akademii w Mátraháza; Większość gości stanowili naukowcy, ale było też kilku pisarzy. Paul zwykle starał się układać swój grafik, tak by spotkać się z Turánem i z moimi rodzicami. Wtedy też wynajmowali zwykle w jadalni duży stół na dziesięć osób. Inne stoliki były małe i siedziały przy nich starsze pary, które rzadko rozmawiały ze sobą. Czasami wyłapywałem ich zazdrosne spojrzenia, gdyż nasz stolik był o wiele żywszy.
3xPaul; Erdos (P.E), Turán (P.T) i Pach (P.P) byli źródłem wielu opowieści, żartów i pomysłów. (Zwykli oni zwracać się do siebie z użyciem inicjałów, jak podpisują się nieraz autorzy artykułów w gazetach).
Wymowna jest tu konwersacja w języku angielskim, jaką P.E. prowadził z matką. Aunty Annus zaczęła towarzyszyć synowi w jego podróżach, gdy miała lat 84, i postanowiła nauczyć się angielskiego. Nigdy nie zapomnę jak zwróciła się do Paula z pytaniem: "Palkő: jak nazywasz owoc ('szilva') ?"
"Plimm, mother, plimm!"
Godnym uwagi jest fakt, że mimo iż Erdős, zaczął uczyć się angielskiego mając 8 lat i choć spędził wiele lat w krajach anglo-języcznych, miał bardzo wyraźny akcent. Ostatnio powstał o nim film dokumentalny, zawierający wywiady z wieloma matematykami węgierskimi. Paul był jedynym, do którego słów dodano napisy.
Nie miał też zbyt dobrego słuchu i niezbyt lubił muzykę. Turán uwielbiał słuchać muzyki przy pracy i znał klasykę bardzo dobrze. Kiedy Erdős przychodził do niego zatrzymywał się i pytał: "Co to za hałas ?"
Jedną z ich ulubionych rozrywek było przepisywanie dobrze znanych fragmentów wierszy poetów węgierskich. Głównym motywem w nich były podeszły wiek i starość, dwie rzeczy, które najbardziej ich przerażały. Np. Erdős parafrazował wiersz Sándora Petőfi:

One thought disturbs me, that I may decease
In slowly progressing Alzheimer's disease.

Erdős cytował to "arcydzieło" często i z dumą, mimo wątpliwych walorów literackich. Niemal 20 lat po śmierci Turána już nie pamiętał które fragmenty napisał on, a które Turán. Obydwaj kochali poezje Andre Ady i "Westerners" grupę postępowych poetów i pisarzy węgierskich, którzy publikowali w periodyku "Nyugat" (West). Jeśłi tylko imię Ady'ego było przywoływane w rozmowie, Erdős komentował: "Był wspaniałym poetą, ale trywialną osobą!" (u Erdősa "trywialny" w znaczeniu "średni"). Paul nigdy nie wybaczył Ady zerwania ze swą wieloletnią kochanką poprzez pisanie dla niej pustoszących i pożegnalnych poematów.
"Zagrajmy w ping ponga", "i powiem ci kim jesteś" - mawiał Turán. Istotnie przy odpowiednim skupieniu można poznać cechy przeciwnika, czy jest twórczy, wyrozumiały, jak radzi sobie z porażką, pechem, jak działa pod presją itd. Gdy tylko Erdős stanął przy stole, było jasne, iż jest amatorem i nie może być poważnym przeciwnikiem. Nawet rakietkę trzymał w nieco dziwny sposób, jakby nie chciał pobrudzić sobie rąk. Jego serwis był całkiem śmieszny, łatwy do ścięcia. Ale tu niespodzianka: Paul łatwo odpierał atak! Miał fantastyczny refleks. Nie sposób nie myśleć, że przewodzenie ipulsów układu nerwowego odbywało się u niego o wiele szybciej niż u innych.

Turán miał znacznie lepszą technikę gry, naśladował chiński styl z efektowną ruchliwością. Był bardzo dumny z wygrania tenisowego turnieju na pokładzie Queen Mary. Erdős i Turán zawsze dobrze grali ze sobą. Turan poruszał się jak zawodowiec, a Erdős pozostawał spokojny i blokował odbicia. Gdy nie trafiał w piłeczkę, wykrzykiwał: "Faszyzm!"
Obydwaj lubili grać z dziećmi i niemal zawsze wygrywali: "Patrz! Epsilon nie poddaje się! On wciąż walczy...".

(...)

Jednym z nich (oryginalnych pomysłów Paula) jest poniższy dowód indukcyjny, według którego iloczyn wszystkich liczb pierwszych nie większych od n jest mniejszy niż 4^n.
Jeśli n \leq 4, to oczywiście jest to słuszne. Załóżmy więc że teza zachodzi dla wszystkich liczb mniejszych od n, i chcemy udowodnić ją dla Jeśli n. Możemy też założyć, że n jest nieparzyste. Iloczyn liczb pierwszych nie przekraczających n można zapisać:
\prod_{p \leq n}  p  =  \prod_{2p \leq n+1}  p  \cdot  \prod_{n+1<2p \leq 2n}  p
Przez indukcję pierwszy składnik nie przekracza 4^{ \frac{n+1}{2}}. Tu jest oryginalna idea: drugi składnik jest ograniczony przez {n \choose  \frac{n+1}{2}} stąd:
\prod_{p \leq n}  p \leq   4^{\frac{n+1}{2}} {n \choose \frac{n+1}{2}} \leq 4^{\frac{n+1}{2}} \cdot 2^{n-1} =4^n
co należało wykazać. Warto zauważyć, że powyższe implikuje od razu słabszą wersję 'Prime Number Theory': ilość liczb pierwszych mniejszych od n jest równa co najwyżej \frac{c n}{\log \ n} gdzie c jest stosowną stałą.
Paul był zapraszany na wykłady do tylu miejsc, że nie mógł przyjąć wszystkich zaproszeń, jakie otrzymał. Matka przypomni mu: "Palkó, nawet ty nie możesz być w dwóch miejscach na raz!".
Ale, w końcu, tak właśnie się stało.

:arrow:
W Budapeszcie w sierpniu 1988, na Międzynarodowej Konferencji Edukacji Matematycznej, Paul Erdős prowadził wykład omawiając bieżące zagadnienia i otwarte probblemy. Jednym z tematów była kontynuacja badań Davida Hilberta. "Nie wiem" powiedział Erdős, czy Hilbert byłby zadowolony z kierunku w jakim zmierzają prace. Wkrótce będę mógł go o to zapytać.

Obrazek
wykład Paula
Obrazek
William T. Tutte i Paul grają w Go; Ontario, Kanada 1985 r.

Obrazek
N is a number
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl