szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 cze 2014, o 17:29 
Użytkownik

Posty: 151
Lokalizacja: Kraków
Znaleźć równanie linii przechodzącej przez punkt A=\left( 2,0\right) i takiej, że odcinek każdej stycznej do tej linii zawarty między punktem styczności i punktem przecięcia z O _{y} ma stałą długość 2.

Proszę o pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2014, o 21:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2527
Lokalizacja: Bytom
No to zacznijmy od równania stycznej do krzywej w punkcie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2014, o 22:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6285
Ale tu nie ma punkktu stycznośći.

Styczna przechodzi przez punkty P _{1}= \left( a,0\right) i P _{2}= \left( 0, \sqrt{4-a ^{2} } \right) ; gdzie a \in \left\langle 0,2\right\rangle i ma równanie
y=- \frac{\sqrt{4-a ^{2} }}{a} x+\sqrt{4-a ^{2} }

Wiesz że
f ^{'} _{x}=- \frac{\sqrt{4-x ^{2} }}{x}
\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }  =- \frac{\sqrt{4-x ^{2} }}{x}
y=- \int_{}^{} \frac{\sqrt{4-x ^{2} }}{x} \mbox{d}x
Po obliczeniu równania krzywej stałą obliczysz z warunku: krzywa zawiera punkt (2,0)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 cze 2014, o 00:15 
Użytkownik

Posty: 178
Skąd wziął się punkt pierwszy i drugi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2014, o 08:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6285
Słuszne pytanie.
To mój błąd . Rozwiązałem zadanie w którym odcinek stycznej zawarty między przecięciami z osiami układu współrzędnych ma stałą długość 2. Wtedy współrzędne obu punktów spełniaja tą zależność.

Tu jednakże stałą długość 2 ma odległość między ponktem stycznośći \left( x _{0}, y _{0}\right) a przecięciem stycznej y-y _{0}=f ^{'} \left( x _{0}\right) \left( x-x _{0}\right) z osią OY , czyli punktem \left( 0, y _{0}-f ^{'} \left( x _{0}\right) x _{0}\right)
Daje to związek
\sqrt{\left( x _{0}-0 \right) ^{2}+\left( y _{0}-\left( y _{0}-f ^{'} \left( x _{0}\right) x _{0}\right) \right) ^{2}    }  =2
x _{0}^{2}+   \left( f ^{'} \left( x _{0}\right) x _{0}\right)     ^{2}    =4
\left( f ^{'} \left( x _{0}\right) \right)     ^{2} = \frac{4-x _{0} ^{2} }{x _{0} ^{2} }
zależnośc ta zachodzi dla dowolnego x (należącego do dziedziny krzywej)
\left(  \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } \right)  ^{2}= \frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}Daje to dwie zależności
y ^{'} = \sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}}  \wedge y ^{'} =- \sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}}
i funkcje spełniające to zadanie
y  =  \int_{}^{} \sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}} \mbox{d}x   \wedge y  =  -\int_{}^{}\sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}} \mbox{d}x
ponieważ krzywa przechodzi przez A o dodatniej odciętej to pomijam wartość bezwględną
y  =  \int_{}^{}  \frac{ \sqrt{4-x ^{2} } }{x}\mbox{d}x   \wedge y  =  -\int_{}^{}\frac{ \sqrt{4-x ^{2} } }{x}\mbox{d}x
y=- \sqrt{4-x ^{2} } +\ln \left|  \frac{\sqrt{4-x ^{2} }+2}{\sqrt{4-x ^{2} }-2} \right| +C
lub y= \sqrt{4-x ^{2} } -\ln \left|  \frac{\sqrt{4-x ^{2} }+2}{\sqrt{4-x ^{2} }-2} \right| +C
Wartość stałej otrzymuje się wstawiając warunek przechodzenia krzywej przez punkt A.
W obu przypadkach stała C wynosi zero

Przepraszam wszystkich zainteresowanych za wprowadzenie w błąd
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znaleźć równanie linii  Kaef  4
 znaleźć równanie linii  mattmiller  3
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Znaleźć czwarty wierzchołek równoległoboku  Anonymous  3
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl