szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2014, o 19:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
Niech f_{n} oznacza ilość podziałów liczby naturalnej n, w których składniki parzyste się nie powtarzają, a g_{n} oznacza ilość podziałów, w których żaden składnik nie jest podzielny przez 4. Pokaż, że f_{n}=g_{n}. (Kolejność występowania składników nie ma znaczenia).

Wg mnie to jest fałsz, proszę o wskazanie mojego błędu. Mamy liczbę 16, którą można podzielić na 5 sposobów:
16=16=8 \cdot 2=4 \cdot 2 \cdot 2=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=4 \cdot 4

Podziały, w których składniki parzyste się nie powtarzają: 16, 8 \cdot 2 i są dwa takie podziały.
Podziały, w których żaden składnik nie jest podzielny przez 4: 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 i jest jeden taki.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2014, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ale w treści jest mowa o składnikach, nie czynnikach.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2014, o 19:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
No jasne! Co ja robię...
Proponuję takie rozwiązanie:
Każdy podział, w którym występuje składnik k podzielny przez 4, można zamienić go na podział, w którym składniki parzyste się powtarzają. A w jaki sposób? Zapisując k jako \frac{k}{2} + \frac{k}{2} (k jest podzielne przez 4, więc również przez 2, więc \frac{k}{2} jest całkowite).
Natomiast każdy podział, w którym występują dwa takie same parzyste składniki t, można zamienić na podział, w którym będzie składnik podzielny przez 4. W jaki sposób? Otóż zapisując t+t jako 2t (t jest parzyste, więc \frac{t}{2} jest całkowite, więc \frac{t+t}{4}= \frac{2t}{4}  = \frac{t}{2} też jest całkowite).
Zasada ta działa dla każdych podziałów spełniających warunki, więc liczba tych podziałów jest równa.

Wykazałem to w prawidłowy sposób?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2014, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Musisz wskazać bijekcję między podziałami w których składniki parzyste się nie powtarzają a podziałami w których nie występuje składnik podzielny przez cztery. To co zrobiłeś w najmniejszym stopniu nie przypomina wskazania takiej bijekcji - dlaczego właściwie bierzesz na tapetę podziały w których występują składniki podzielne przez cztery?

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2014, o 20:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
Rozważyłem takie, bo występowanie takich i takich podziałów działa na zasadach równoważności.
Obawiam się, że nie umiem rozwiązać tego problemu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2014, o 20:53 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
musialmi napisał(a):
Rozważyłem takie, bo występowanie takich i takich podziałów działa na zasadach równoważności.
Nie rozumiem.

Co do zadania - wskazówka: w dowolnym podziale w którym składniki parzyste się nie powtarzają zastąpmy każdy składnik postaci 2^k(4l+2) przez 2^k składników postaci 4l+2. Trzeba pokazać tylko, że w nowym podziale nie występują składniki podzielne przez cztery (oczywiste) oraz że takie przypisanie jednemu podziałowi drugiego jest bijekcją.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 cze 2014, o 09:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3506
Lokalizacja: PWr ocław
Dalej nie wiem jak to rozwiązać. I to ani trochę.
Qń napisał(a):
musialmi napisał(a):
Rozważyłem takie, bo występowanie takich i takich podziałów działa na zasadach równoważności.
Nie rozumiem.

Każdy podział z parzystymi można zastąpić podziałem z czwórką. Każdy podział z czwórką można zastąpić podziałem z parzystymi. O tę relację równoważności mi chodziło. Podziałów z parzystymi jest a, podziałów z czwórką jest b. Pokazałem, że a=b. Wszystkich podziałów jest p. Podziałów bez powtórzonych składników parzystych jest p-a=f, natomiast podziałów bez składników podzielnych przez 4 jest p-b=g.
a=b  \Rightarrow p-a=p-b \Rightarrow f=g
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2014, o 00:56 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
A, próbujesz wskazać bijekcję pomiędzy dopełnieniami zbiorów żądanych podziałów. Tak też można, ale to co wskazałeś nie jest nawet funkcją: czy podziałowi 8+4 przypisujesz 4+4+4 czy 8+2+2; czy podziałowi 6+6+2+2 przypisujesz 12+2+2 czy 6+6+4?

Jeśli chcesz wskazać bijekcję, to musisz pokazać jak jednemu podziałowi w którym występuje składnik podzielny przez cztery przypisujesz jednoznacznie dokładnie jeden podział w którym składniki parzyste się powtarzają, a następnie pokazać, że to przypisanie jest różnowartościowe i "na".

Branie na tapetę dopełnień zbiorów nie jest istotnym ułatwieniem problemu, choć idea będzie podobna do tej o której pisałem. Jeśli nie rozumiesz tej idei, to po pierwsze zauważ, że składniki nieparzyste możemy zupełnie pominąć (w moim przypisaniu one się nie zmieniają, więc są nieistotne), a po drugie przypatrz się jakiemuś prostemu przypadkowi, na przykład podziałom liczby 18.

Te w których składniki parzyste się nie powtarzają (ale wszystkie są parzyste) to:
18=16+2=14+4=12+6=12+4+2=10+8=10+6+2=8+6+4
Te w których nie występuje składnik podzielny przez 4 (ale składniki są parzyste) to:
18=14+2+2=10+6+2=10+2+2+2+2=6+6+6=\\ =6+6+2+2+2=6+2+2+2+2+2+2=2+2+2+2+2+2+2+2+2

A proponowana przeze mnie funkcja działa tak:
f(18)=18\\
f(16+2)=2+2+2+2+2+2+2+2+2\\
f(14+4)=14+2+2\\
f(12+6)=6+6+6\\
f(12+4+2)=6+6+2+2+2\\
f(10+8)=10+2+2+2+2\\
f(10+6+2)=10+6+2\\
f(8+6+4)=6+2+2+2+2+2+2

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podział liczb  jayson  2
 Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej ...  Hobbs  1
 liczby podzielne przez 4 - zadanie 2  celia11  1
 Liczby ustawione w ciąg  Czingisham  2
 podział zbioru - zadanie 2  tukanik  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl