szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 cze 2014, o 23:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2783
Dana jest prosta l:  \begin{cases} 3x-2y+z =3 \\ x-2z=0 \end{cases}
oraz płaszczyzna \pi_{1}: x+y+z+8=0.
Znajdź równanie ogólne płaszczyzny \pi przechodzącej przez prostą l i prostopadlej do płaszczyzny \pi_{1}.

Jedyne co udało mi się zrobić to znaleźć wektor kierunkowy prostej l,
v_{l}=[4,7,2] i wywnioskować, że v_{\pi}_{1} \circ v_{\pi} =0, ponieważ wektory są prostopadłe. Z tej zależności otrzymuję równanie: A+B+C=0, gdzie A,B,C są współrzędnymi wektora normalnego szukanje płaszczyzny.

Co moge jeszcze zrobić, aby otrzymać równanie płaszczyzny?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2014, o 23:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6285
Brakuje Ci tylko pumktu należącego do szukanej płaszcyzny, Wiesz że prosta l ( a więc i jej punkty) należy do poszukiwanej płaszczyzny. Dobierz sobie dowolną wartośc jednej ze zmiennej , np z=0, i wylicz pozostałe wspołrzędne tego punktu prostej (ja nie mogę tego zrobić, bo w równaniu krawędziowym prostej błędnie wpisałaś druga płaszczyznę ). Otrzymany punkt wstaw do równania płaszczyzny
A\left( x-x _{0} \right) +B\left( y-y _{0} \right)+C\left( z-z _{0} \right)=0
lub wstaw do równania :
Ax+By+Cz+D=0 i oblicz D
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 cze 2014, o 23:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2783
P(2,2,1)\in \pi

Ale czy to wystarczy? Teraz będę mieć dwa równania zamiast czterech..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2014, o 23:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6285
Skoro masz już A,B,C to szukasz D
Wstawiasz obliczony punkt
2A+2B+C+D=0
i wyliczasz D
D=-2A-2B-C

I masz równanie płaszczyzny (po wstawieniu znanych Ci : A,B,C,D)
\pi :Ax+By+Cz+D=0
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 cze 2014, o 00:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2783
Ale właśnie w tym rzecz, że nie mam obliczonych A,B,C..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2014, o 00:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6285
Sorry , nie doczytałem. Wektor normalny szukanej płaszczyzny jest prostopadły do normalnego płaszczyzny danej i wektora kierunkowego prostej. Obliczasz go z iloczynu wektorowego

\vec{n} =\left[ A,B,C\right] =\left[ 4,7,2\right]  \times \left[ 1,1,1\right] =\left[ 5.-2,-3\right]

A równanie płaszczyzny to
5x-2y-3z-3=0
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 cze 2014, o 09:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2783
Dobrze, ale nie mam pewności dlaczego iloczyn wektorowy wektora nomralnego płaszczyzny pierwszej i wektora kierunkowego prostej, daje nam od razu wektor normalny drugiej płaszczyzny..

Czy można to jakoś wyjaśnić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2014, o 11:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6285
1. Fakt: Wektor normalny płaszczyzny jest do niej prostopadły.
(Jak chcesz to mogę wyprowadzić Ci ten wzór)
2. Skoro prosta leży w poszukiwanej płaszczyźnie \pi to jej wektor kierunkowy \vec{k} leży także w tej płaszczyźnie (tak naprawdę to jest do niej równoległy gdyż jest wektorem swobodnym).
Czyli wektor normalny płaszcyzny \pi jest prostopadły do wektora kierunkowego \vec{k} prostej L. (jest to konkluzja z pkt 1. i pierwszego zdania punktu 2. )
3. Z treści zadania wiesz, że płaszczyzna \pi jest prostopadła do \pi _{1} więc wektory normalne tych płaszczyzn są prostopadłe ( \vec{n} jest prostopadły do \vec{n _{1} }),
4. Ponieważ \vec{n} jest prostopadły zarówno do wekora \vec{k} jak i do \vec{n _{1} } to można go wyznaczyć z ich iloczynu wektorowego.


Ps. W przypadku równoległości wekorów \vec{k} i \vec{n _{1} } zadanie miałoby nieskończenie wiele rozwiązań gdyż taki iloczyn wektorowy daje wektor zerowy. Byłby to pęk płaszczyzn o wspólnej prostej L.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znaleźć równanie płaszczyzny  pandyskoteka  5
 Znaleźć równanie płaszczyzny - zadanie 3  rturos  4
 Znaleźć równanie płaszczyzny - zadanie 5  szymonber  4
 znaleźć równanie płaszczyzny - zadanie 7  tomi140  2
 znaleźć równanie płaszczyzny - zadanie 6  tomi140  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl