szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2014, o 13:04 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Udowodnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi 2.

Na razie zacząłem tak, ale chyba źle:
1+n_0+n_1+...+n_n=S=2x, gdzie n_n - n-ty dzielnik, S to suma dzielników, x to liczba.

Teza:
1+ \frac{1}{n_0}+\frac{1}{n_1}+...+\frac{1}{n_n} = 2
Zacząłem od sprowadzenia do wspólnego mianownika, ale nic mi to nie daje...
1+ \frac{n_1n_2 \cdot ... \cdot n_n + n_0n_2 \cdot ... \cdot n_n+...+n_0n_1n_2 \cdot ... \cdot n_{n-1}}{n_0n_1n_2 \cdot ... \cdot n_n} = 2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2014, o 13:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 808
Lokalizacja: MiNI PW
n_n - trochę złe oznaczenie :)

Niech d_1,\ldots,d_n - dzielniki liczby M, wtedy zachodzi:
d_1+d_2+\ldots+d_n=2M
Zachodzi również d_1+\ldots+d_n=\frac{M}{d_1}+\ldots+\frac{M}{d_n} (dlaczego?)
\frac{M}{d_1}+\ldots+\frac{M}{d_n}=2M
Stąd po podzieleniu przez M mamy tezę zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2014, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Lider_M napisał(a):
Zachodzi również d_1+\ldots+d_n=\frac{M}{d_1}+\ldots+\frac{M}{d_n} (dlaczego?)

Właśnie nie wiem :o
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2014, o 14:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Zauważ, że d_{k} | n  \Rightarrow \frac{n}{d_{k}} | n.
Skoro tak to mamy \sum_{k=1}^{m} d_ {k}=\sum_{k=1}^{m} \frac{n}{d_{k}}, bo oba wzory oznaczają sumę dzielników. Dzieląc obustronnie przez n, mamy:
\frac{\sum_{k=1}^{m} d_ {k}}{n}=\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{d_{k}}. Z założeń mamy:
\sum_{k=1}^{m} d_ {k}=2n, więc:
2=\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{d_{k}}, CKD
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2014, o 14:41 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Michalinho napisał(a):
Zauważ, że d_{k} | n  \Rightarrow \frac{n}{d_{k}} | n.

Już rozumiem, dziękuję Wam za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n podana liczb...  Artut97  5
 Udowodnij podzielność przez 31  revolution  6
 Udowodnij, że n! jest podzielny przez sumę  JezuAleNick  8
 Ilość dzielników naturalnych  Nividis  2
 Znajdz ilość dzielników liczby  Rockefeller  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl