szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2014, o 13:04 
Użytkownik

Posty: 969
Lokalizacja: Polska
Udowodnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi 2.

Na razie zacząłem tak, ale chyba źle:
1+n_0+n_1+...+n_n=S=2x, gdzie n_n - n-ty dzielnik, S to suma dzielników, x to liczba.

Teza:
1+ \frac{1}{n_0}+\frac{1}{n_1}+...+\frac{1}{n_n} = 2
Zacząłem od sprowadzenia do wspólnego mianownika, ale nic mi to nie daje...
1+ \frac{n_1n_2 \cdot ... \cdot n_n + n_0n_2 \cdot ... \cdot n_n+...+n_0n_1n_2 \cdot ... \cdot n_{n-1}}{n_0n_1n_2 \cdot ... \cdot n_n} = 2
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2014, o 13:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 847
Lokalizacja: MiNI PW
n_n - trochę złe oznaczenie :)

Niech d_1,\ldots,d_n - dzielniki liczby M, wtedy zachodzi:
d_1+d_2+\ldots+d_n=2M
Zachodzi również d_1+\ldots+d_n=\frac{M}{d_1}+\ldots+\frac{M}{d_n} (dlaczego?)
\frac{M}{d_1}+\ldots+\frac{M}{d_n}=2M
Stąd po podzieleniu przez M mamy tezę zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2014, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 969
Lokalizacja: Polska
Lider_M napisał(a):
Zachodzi również d_1+\ldots+d_n=\frac{M}{d_1}+\ldots+\frac{M}{d_n} (dlaczego?)

Właśnie nie wiem :o
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2014, o 14:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 495
Lokalizacja: Chełm
Zauważ, że d_{k} | n  \Rightarrow \frac{n}{d_{k}} | n.
Skoro tak to mamy \sum_{k=1}^{m} d_ {k}=\sum_{k=1}^{m} \frac{n}{d_{k}}, bo oba wzory oznaczają sumę dzielników. Dzieląc obustronnie przez n, mamy:
\frac{\sum_{k=1}^{m} d_ {k}}{n}=\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{d_{k}}. Z założeń mamy:
\sum_{k=1}^{m} d_ {k}=2n, więc:
2=\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{d_{k}}, CKD
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2014, o 14:41 
Użytkownik

Posty: 969
Lokalizacja: Polska
Michalinho napisał(a):
Zauważ, że d_{k} | n  \Rightarrow \frac{n}{d_{k}} | n.

Już rozumiem, dziękuję Wam za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij podzielność - zadanie 6  Szalony_Ryszard  1
 Znajdź n jeśli suma dzielników jest równa 40  Nominalista  1
 Udowodnij podzielność przez 9  maniek099  2
 Udowodnij, że liczba, Co jest ostatnią cyfrą liczby  KubaK96  2
 ile dzielnikow  wiedzma  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl