szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2014, o 15:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 434
Lokalizacja: Glasgow
Niech a,b,c,d będą liczbami naturalnymi. Wykazać, że jeżeli ad - bc = 1 lub ad - bc = -1, to ułamek \frac{an + b}{cn + d} nie jest skracalny dla żadnego n\in N.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2014, o 15:16 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
Niech p będzie wspólnym dzielnikiem liczb an+b i cn+d
Wówczas:
p|c\left( an+b\right)-a\left( cn+d\right)  \Rightarrow p|bc-ad \Rightarrow p| \pm 1.
Stąd p= \pm 1 i ułamek jest nieskracalny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2014, o 15:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 434
Lokalizacja: Glasgow
Dzięki za odpowiedź.
Robiłem podobnie:

Przyjąłem D za NWD liczb an+b i cn+d. Wtedy an+b=kD i cn+d = lD, gdzie k,l\in C.
Czyli:
c(an+b)-a(cn+d)=(ck-al)D
bc-ad=(ck-al)D.

O i tutaj miałem problem.

Skoro w treści zadania jest ad-bc=1 lub ad-bc=-1 to daję:
\pm 1=(ck-al)D i stąd D= \pm 1.
A co za tym idzie ułamek jest nieskracalny?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 6 lip 2014, o 15:58 
Moderator

Posty: 1901
Lokalizacja: Trzebiatów
Tak. Wykazałeś w ten sposób, że największy możliwy wspólny dzielnik liczb x, y wynosi \pm 1 czyli liczby te są względnie pierwsze. Ułamka \frac{x}{y} nie skrócisz
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 33  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl