szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2014, o 18:28 
Użytkownik

Posty: 525
Lokalizacja: Kielce
Witam,
Mam następujące twierdzenie do udowodnienia na które nie mam pomysłu.

'Funkcja f: P \rightarrow  R jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy,
gdy jej iloraz różnicowy w każdym punkcie jest niemalejacy jako funkcja jednej zmiennej.'


czy z mozna wyprowadzic wniosek że funkcja ma f \left( x \right) ma pochodną? od tego miejsca umiem juz udowodnic.

Proszę o pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2014, o 18:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17949
Lokalizacja: Cieszyn
Nie można. Funkcja f(x)=|x| jest wypukła i nie ma pochodnej.

Natomiast funkcja wypukła ma w każdym punkcie wewnętrznym przedziału P obie pochodne jednostronne. Każda z nich jest niemalejąca (pokazujemy to właśnie z monotoniczności ilorazów różnicowych, bo funkcje monotoniczne mają obie granice jednostronne). Pochodne jednostronne są ponadto równe prawie wszędzie, tzn. wszędzie poza pewnym zbiorem miary zero, a tutaj po prostu co najwyżej przeliczalnym.

Dowód monotoniczności ilorazów różnicowych prowadzimy mniej więcej tak: załóż wypukłość i ustal sobie punkt x_0 i weź funkcję g(t)=\frac{f(x_0)-f(t)}{x_0-t}. Masz wykazać, że ona jest niemalejąca. Tak więc bierzesz s<t i masz pokazać, że g(s)\le g(t). Powiedzmy, że x_0<s<t. Przedstawiamy s jako kombinację wypukłą x_0 oraz t i korzystamy z definicji wypukłości. Wychodzi żądana teza. Jeśli s<t<x_0, czynimy podobnie. Jeśli s<x_0<t, to przedstawiamy x_0 jako kombinację wypukłą s oraz t i znów podobne przeliczenia.

To, że z monotoniczności ilorazów różnicowych wynika wypukłość, przeliczamy podobnie jak w części pierwszej. Bierzemy s<t oraz x_0=\lambda s+(1-\lambda)t przy \lambda\in(0,1). Zapisujemy monotoniczność ilorazów np. g(s)\le g(t) i wychodzi z tego definicja wypukłości.

Dowód opowiedziałem Ci dość dokładnie. Przelicz potrzebne szczegóły.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2014, o 20:22 
Użytkownik

Posty: 1446
Lokalizacja: Sosnowiec
Jako, że ja sam długo się męczyłem z tym zadaniem, to podam też moje, być może dalej idące wskazówki.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2014, o 20:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17949
Lokalizacja: Cieszyn
To jest dokładnie to o czym myślałem. I w sumie napisałem między wierszami. Do tego się dochodzi przy wskazanych przeze mnie rachunkach. Pierwsza linia mówi o tym, że funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy ilorazy różnicowe drugiego rzędu [a,b,c;f] są nieujemne dla każdych wzajemnie różnych a,b,c.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Liceum Klasa 1 Dział Funkcje Problem z Rysowaniem - zadanie 2  zerdzio  0
 problem z funkcja - zadanie 3  cwierc91  1
 problem z określeniem funkcji odwrotnej  shreder221  8
 Problem z własnościami konkretnej funkcji wymiernej  SetoKami  0
 Własność wypukłości  mol_ksiazkowy  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl