szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2014, o 16:34 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Wykaż, że jeżeli długość każdej dwusiecznej trójkąta jest większa od 1, to jego pole jest większe od\frac{ \sqrt{3} }{3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2014, o 23:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 425
Lokalizacja: Glasgow
Co się stanie, gdy założymy, że długość każdej dwusiecznej trójkąta wynosi 1?
Łatwo policzyć, że pole takiego trójkąta wynosić będzie \frac{ \sqrt{3} }{3} }.
Jeżeli więc, długość każdej dwusiecznej trójkąta będzie >1, to pole tego trójkąta również będzie większe od \frac{ \sqrt{3} }{3} }.

Nie wiem tylko czy jest to wystarczający dowód. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2014, o 00:09 
Moderator

Posty: 1892
Lokalizacja: Trzebiatów
Będzie jak uzasadnisz
Chewbacca97 napisał(a):
Jeżeli więc, długość każdej dwusiecznej trójkąta będzie >1, to pole tego trójkąta również będzie większe od \frac{ \sqrt{3} }{3} }

:D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2014, o 06:23 
Użytkownik

Posty: 1438
Lokalizacja: Sosnowiec
Chewbacca97 napisał(a):
Co się stanie, gdy założymy, że długość każdej dwusiecznej trójkąta wynosi 1?
Łatwo policzyć, że pole takiego trójkąta wynosić będzie \frac{ \sqrt{3} }{3} }.

Jestem też ciekawy, jak do tego doszedłeś.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2014, o 09:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 425
Lokalizacja: Glasgow
W przypadku, gdy długość każdej dwusiecznej trójkąta wynosi 1 to jest to trójkąt równoboczny. Jego dwusieczne zawierają się w wysokościach i symetralnych jego boków. Tym samym jego dwusieczne dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka trójkąta. Niech a będzie bokiem tego trójkąta.
I dalej: obliczamy długość boku a.
1= \frac{a \sqrt{3} }{2}
a =  \frac{2 \sqrt{3} }{3}
A pole obliczamy chociażby ze wzoru: \frac{ a^{2} \sqrt{3}  }{4}.
Czyli: P= \frac{ \sqrt{3} }{3}.

Ale jak uzasadnić, że jeżeli długość każdej dwusiecznej trójkąta będzie >1, to pole tego trójkąta również będzie większe od \frac{ \sqrt{3} }{3} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2014, o 09:33 
Użytkownik

Posty: 1438
Lokalizacja: Sosnowiec
Chewbacca97 napisał(a):
W przypadku, gdy długość każdej dwusiecznej trójkąta wynosi 1 to jest to trójkąt równoboczny.


Chodziło mi o dowód tej własności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2014, o 10:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 425
Lokalizacja: Glasgow
Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi symetrii. Ponadto dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie (środek okręgu wpisanego w ten trójkąt). W przypadku, gdy długość każdej dwusiecznej wynosić ma 1 to odległość od punktu przecięcia do każdego z boków jest równa. Ma to miejsce tylko w trójkącie równobocznym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2014, o 11:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1367
Lokalizacja: Katowice
Chewbacca97 napisał(a):
W przypadku, gdy długość każdej dwusiecznej wynosić ma 1 to odległość od punktu przecięcia do każdego z boków jest równa. Ma to miejsce tylko w trójkącie równobocznym.
Chewbacca97, punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta jest zawsze równooddalony od każdego boku

trójkąt, którego dwusieczne są równe, musi być równoboczny, bo jest takie twierdzenie: http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzeni ... ra-Lehmusa
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2014, o 11:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 425
Lokalizacja: Glasgow
timon92, dziękuję za twierdzenie Steinera-Lehmusa (do tej pory się z nim nie spotkałem) - ciężko mi było uzasadnić fakt, że trójkąt którego dwusieczne są równe musi być równoboczny. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2014, o 12:27 
Użytkownik

Posty: 1438
Lokalizacja: Sosnowiec
Piszą, że twierdzenie zaskakująco trudne w dowodzie, a mnie chyba udało się udowodnić. Zweryfikuje ktoś?

Niech w trójkącie ABC dwusieczna AP będzie równa dwusiecznej BQ. Oznaczmy BC=a, AC=b, AB=c, \angle BAC=\alpha, \angle ABC=\beta.
Należy wykazać, że a=b lub równoważnie \alpha=\beta.

Ze wzoru na dwusieczną (jakby co to mam wyprowadzenie):
AP=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{\alpha}{2}
BQ=\frac{2ac}{a+c}\cos \frac{\beta}{2}
\frac{b}{b+c}\cos \frac{\alpha}{2}=\frac{a}{a+c}\cos \frac{\beta}{2}
\left( 1-\frac{c}{b+c}\right)\cos\frac{\alpha}{2}=\left( 1-\frac{c}{a+c}\right)\cos\frac{\beta}{2}

Przypuśćmy, że a>b. Wówczas
1-\frac{c}{b+c}< 1-\frac{c}{a+c}
\cos\frac{\alpha}{2}<\cos\frac{\beta}{2}
Po wymnożeniu stronami mamy sprzeczność. Analogicznie, gdyby a<b.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg  Jessica  12
 (2 zadania) Oblicz stosunek dł. cięciw. Oblicz pole trój  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl