szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2014, o 23:16 
Użytkownik

Posty: 1587
Lokalizacja: Sosnowiec
Ze względu na małą przejrzystość i nieprecyzyjność materiałów dostępnych na ten temat w Internecie, zdecydowałem się w miarę krótko przedstawić aksjomaty i związane z nimi najważniejsze definicje i twierdzenia płaskiej geometrii euklidesowej. Podany przeze mnie układ aksjomatów pochodzi od Hilberta i jest najczęściej stosowany jeśli chodzi o geometrię syntetyczną. Czekam na opinie, co myślicie na ten temat.

1. Aksjomaty incydencji.

Nasza teoria jest osadzona w teorii zbiorów ZF lub ZFC.
\bullet Dany jest zbiór P, który nazywamy płaszczyzną. Elementy zbioru P będziemy nazywać punktami i oznaczać małymi literami a,b,c itd.
\bullet Ponadto dana jest rodzina \mathfrak{L} podzbiorów zbioru P tzn. \mathfrak{L}\subset{2^P}. Elementy rodziny \mathfrak{L} będziemy nazywać prostymi i oznaczać dużymi literami K,L itd.

Definicja 1. Punkty a,b,c nazywamy współliniowymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje prosta L taka, że a,b,c\in L.

Przyjmujemy 4 aksjomaty:
I1. Dla dowolnych dwóch punktów a i b istnieje prosta L zawierająca te punkty.
I2. Dla dowolnych dwóch różnych punktów a\neq b istnieje co najwyżej jedna prosta L zawierająca te punkty tzn. \left( a,b\in L_1 \wedge a,b\in L_2\right) \implies L_1=L_2.
I3. Dowolna prosta zawiera dwa różne punkty.
I4. Istnieją 3 punkty niewspółliniowe.

Oznaczenie. Na podstawie aksjomatów I1 i I2 wnosimy, że przez dwa różne punkty a\neq b przechodzi dokładnie jedna prosta L, co pozwala nam przyjąć na nią oznaczenie L(ab). Tak więc L=L(ab) \iff a,b\in L.

Twierdzenie 1. Jeśli punkty a,b,c są niewspółliniowe, to są parami różne.

2. Aksjomaty uporządkowania.

Wprowadzimy teraz relację trzyargumentową leżenia między na tej samej prostej.
\bullet Dana jest relacja B\subset P\times P\times P. Przyjmujemy oznaczenie B(abc) :\iff (a,b,c)\in B. Napis B(abc) czytamy: Punkt b leży między punktami a i c (na tej samej prostej).

Definicja 2. Jeśli a i b są różnymi punktami, to odcinkiem otwartym nazywamy zbiór (ab):=\{p\in P: B(apb)\}.

Wprowadzamy 5 aksjomatów:
O1. Jeśli B(abc), to punkty a,b,c są współliniowe i a\neq c.
O2. Jeśli B(abc), to B(cba).
O3. Jeśli B(abc), to \sim B(bac).
O4. Jeśli a\neq b, to istnieje c taki, że B(abc).
O5. (Aksjomat Pascha) Jeśli punkty a,b,c są niewspółliniowe, prosta L nie przechodzi przez żaden z punktów a,b,c oraz prosta L ma punkt wspólny z odcinkiem (ab), to ma też punkt wspólny z odcinkiem (bc) lub (ac).

Twierdzenie 2.
(i) Jeśli B(abc), to a\neq b oraz b\neq c.
(ii) Jeśli a\neq b, b\neq c, c\neq a, to B(abc) \vee B(bac) \vee B(acb).
(iii) Jeśli a\neq b, to istnieje c taki, że B(acb).
(iv) Jeśli B(abc) oraz B(bcd), to B(abd).
(v) Jeśli B(abc) oraz B(acd), to B(bcd).

Twierdzenie-Definicja 3. Dana jest prosta L oraz punkt o\in L. Relacja dwuargumentowa \sim w zbiorze L\setminus\{o\} dana związkiem a\sim b :\iff \left( B(oab) \vee a=b \vee B(oba)\right) jest relacją równoważności o dokładnie dwóch klasach abstrakcji. Każdą z tych klas nazywamy półprostą o początku w punkcie o. Każda półprosta wyznacza swój początek jednoznacznie. Dwie różne półproste o tym samym początku, które w sumie z początkiem dają całą prostą, nazywamy dopełniającymi.

Twierdzenie-Definicja 4. Dana jest prosta L. Relacja \sim w zbiorze P\setminus L dana związkiem a\sim b :\iff \left( a=b \vee (ab)\cap L=\emptyset\right) jest relacją równoważności o dokładnie dwóch klasach abstrakcji. Każdą z tych klas nazywamy półpłaszczyzną o brzegu L. Każda półpłaszczyzna wyznacza swój brzeg jednoznacznie. Dwie różne półpłaszczyzny o tym samym brzegu nazywamy dopełniającymi.

3. Aksjomaty przystawania.

Definicja 5. Jeśli a\neq b, to odcinkiem ab nazywamy parę nieuporządkowaną \{a,b\}. Kątem nazywamy parę nieuporządkowaną \{A,B\} złożoną z dwóch półprostych o wspólnym początku, które są różne oraz nie dopełniają się wzajemnie. Kąt złożony z półprostych A,B oznaczamy AB.

\bullet Rozważamy dwie relacje dwuargumentowe zwane relacjami przystawania. Obie oznaczamy przez \equiv, choć w rzeczywistości są czymś innym. Jedna jest określona na zbiorze odcinków, druga na zbiorze kątów.

Przyjmujemy 6 aksjomatów:
C1. Relacja przystawania odcinków jest relacją równoważności.
C2. Dla każdej półprostej A o początku o i każdego odcinka pq istnieje dokładnie jeden punkt a\in A taki, że oa\equiv pq.
C3. Jeśli B(abc) \wedge B(a_1b_1c_1) \wedge ab\equiv a_1b_1 \wedge bc\equiv b_1c_1, to ac\equiv a_1c_1.
C4. Relacja przystawania kątów jest relacją równoważności.
C5. Dla każdej półpłaszczyzny M i półprostej A o początku o zawartej w brzegu tej półpłaszczyzny i dla każdego kąta PQ istnieje dokładnie jedna półprosta B o początku w o zawarta w M taka, że PQ\equiv AB.
C6. Jeśli punkty a,b,c są niewspółliniowe i punkty a_1b_1c_1 są niewspółliniowe oraz ab\equiv a_1b_1 \wedge ac\equiv a_1c_1 \wedge \angle bac\equiv \angle b_1a_1c_1, to \angle abc \equiv \angle a_1b_1c_1.

4. Aksjomat ciągłości.

A1. Dla dowolnych zbiorów X,Y\subset P, jeżeli istnieje punkt a taki, że z p\in X i q\in Y wynika B(apq), to istnieje punkt b taki, że z p\in X\setminus\{b\} i q\in Y\setminus \{b\} wynika B(pbq).

5. Aksjomat prostych równoległych (pewnik Euklidesa).

P1. Dla dowolnej prostej L i punktu p\notin L istnieje co najwyżej jedna prosta przechodząca przez p rozłączna z prostą L.

Uwaga. Zastępując aksjomat P1 przez jego zaprzeczenie, otrzymamy geometrię Bolyaia-Łobaczewskiego, znaną też pod nazwą geometria hiperboliczna.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Elementy geometrii różniczkowej  paewel  5
 Układ ortonormalny i operator liniowy w przestrzeni Hilberta  Alojzy Pompka  1
 zadanko maturalne z geometrii  szeryfik  1
 Kilka różnych zadań z geometrii w przestrzeni  mateosek104  0
 łamigłówka geometrii analitycznej  biker23  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl