szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 09:28 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Wejherowo
W układzie Oxy mamy daną dowolną prostą l która tworzy z osiami układu kąty kierunkowe \alpha i \beta oraz wektor F=[X,Y] którego początek jest zaczepiony na dowolnym pkt. prostej l. Jak udowodnić, że długość rzutu wektoraF na prostą l jest równy X\cos \alpha+Y\cos \beta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 10:18 
Użytkownik

Posty: 1873
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Narysuj, poszukaj trójkątów prostokątnych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 11:21 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Wejherowo
Niestety dalej nie wiem jak to udowodnić. Wychodzą mi na rysunku różne trójkąty prostokątne ale nie potrafię z tego nic wywnioskować. Chciałem wrzucić obrazek ale wyskakuje mi komunikat:"Określenie wymiarów obrazka nie było możliwe." Proszę o dalsze podpowiedzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 12:28 
Użytkownik

Posty: 1873
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Poczytaj o iloczynie skalarnym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Wejherowo
Poczytałem ale dalej nie wiem jak to zrobić. Proszę o jakąś bardziej konkretną podpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 13:09 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3239
Lokalizacja: Warszawa
Bardziej konkretna jest taka, że prosta jest wyznaczona przez wektor, np. o długości 1. Możemy wyznaczyć współrzędne tego wektora korzystając z kanonicznego iloczynu skalarnego na płaszczyźnie - obliczając iloczyn z wersorem w kierunku x i wersorem w kierunku y. Dalej wystarczy zauważyć, że długość rzutu wektora na prostą jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora z unormowanym wektorem kierunkowym tej prostej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 15:21 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Wejherowo
Czyli mamy:
F=[X,Y] i V=[\cos \alpha,\cos \beta]
F \circ V =[X,Y] \circ [\cos \alpha,\cos \beta] =  X\cos \alpha+Y\cos \beta ,gdzie \alpha+\beta =  \frac{\pi}{2}
Z drugiej strony mamy:
F \circ V =|F| \cdot |V| \cdot \cos (F,V) =  \sqrt{\cos^2 \alpha +\cos^2 \beta} \cdot |F| \cdot  \frac{F_{V}}{|F|}= F_{V}
(gdzie F_{V} jest miarą rzutu wektoraF na oś wektora V).
Ale teraz to właściwie to problem jest z tym, że nie wiem dlaczego prawdziwa jest równość:
U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)
Myślę że trzeba wyjść z definicji czyli
U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}
no ale nie wiem jak to dalej udowodnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 16:44 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3239
Lokalizacja: Warszawa
tadu983 napisał(a):
Ale teraz to właściwie to problem jest z tym, że nie wiem dlaczego prawdziwa jest równość:
U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)


Nie wiem czy jest konieczne udowodnienie tego, gdyż jest to na tyle standardowa równość, że raczej nikt tego w zadaniach nie wymaga :P W szkole średniej tak się definiuje iloczyn skalarny. A jak bardzo potrzebujesz to znajdziesz to pewnie na wikipedii.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 16:52 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Wejherowo
No ale ja nie widzę równości pomiędzy:
U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V) a
U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}
Na wikipedii nie ma tego dowodu no i w sumie nigdzie nie mogę go znaleźć. Wiem że jestem upierdliwy ale jeszcze poproszę o ten dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 16:55 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3239
Lokalizacja: Warszawa
tadu983 napisał(a):
Na wikipedii nie ma tego dowodu no i w sumie nigdzie nie mogę go znaleźć.


Czyżby.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny
Sekcja "interpretacja geometryczna".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 17:45 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Wejherowo
Faktycznie jest przeoczyłem.
Chciałem tylko jeszcze się zapytać jak udowodnić wzór na rzut wektora F =[X,Y,Z] w przestrzeni na prostą l. Powinien wynosić X\cos \alpha+Y\cos \beta +Z\cos \gamma. Myślałem że jak będę miał sposób na udowodnienie tego na płaszczyźnie to przeniosę to na 3D :). Ale tutaj chyba się nie da bo pierwiastek z kwadratów 3 cosinusów nie będzie wynosił 1. Jeszcze raz proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 11:57 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3239
Lokalizacja: Warszawa
Ale nie musisz żadnych kwadratów cosinusów obliczać :P Długość rzutu wektora na prostą, jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora i jednostkowego wektora wyznaczającego prostą. Wektor ten zadany jest przez trzy cosinusy, drugi też masz zadany, więc z definicji mnożysz współrzędne przez siebie. Itd. Nic więcej nie musisz robić, to twoje "z drugiej strony mamy" w powyższym poście potrzebne nie było :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 14:12 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Wejherowo
Napisałeś, że
Cytuj:
Długość rzutu wektora na prostą, jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora i jednostkowego wektora wyznaczającego prostą
.
No ale właśnie chcę zrozumieć dlaczego tak jest. Już wiem że jest tak na płaszczyźnie (bo powiedziałeś jak to udowodnić ), ale nie wiem czy zachodzi to w przestrzeni (bo nie mogę przenieść sposobu dowodzenia z 2D do 3D ).


Ok.Już kumam. Wielkie dzięki za pomoc. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyprowadź wzór na długość odcinka  Anonymous  2
 Okrąg, prosta , parametr  Milczek  2
 Płaszczyzna równol. do prostej i przechodząca przez 2 prostą  Endriuuu  2
 prosta o równaniu - zadanie 3  rudablondyna  1
 Znajdz długość promienia okręgu wpisanego i opisanego  ahateon  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl