szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 11:32 
Użytkownik

Posty: 704
Czy punkt jest 0 - wymiarowym sześcianem ?

dla wymiaru 1 : objętość odcinka (1- wymiarowego sześcianu) jest jego długością V=a

dla wymiaru 2 : objętość kwadratu (2- wymiarowego sześcianu) V=a \cdot a

dla wymiaru 3 : objętość sześcianu (3- wymiarowego sześcianu) V=a \cdot a \cdot a

...
dla wymiaru n : objętość hipersześcianu (n- wymiarowego sześcianu) V=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots = a ^{n}

no i teraz:

dla wymiaru 0 : objętość punktu (0- wymiarowego sześcianu) V=a^{0}=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 11:44 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18427
Lokalizacja: Cieszyn
Dla punktu masz a=0, więc 0^0. Jest to symbol nieoznaczony.

W sensie geometrycznym przestrzeń zerowymiarowa składa się z jednego punktu i nie można tam w ogóle sensownie określać odległości punktów. Na to musisz mieć co najmniej dwa punkty. Tym niemniej w przestrzeni X=\{0\} mamy określoną metrykę: d(x,y)=0 dla każdych x,y\in X. Nieważne, że x=y, bo X składa się z jednego punktu. Właśnie z tego powodu zachodzi pierwszy warunek definicji metryki: d(x,y)=0\iff x=y.

Jeśli teraz objętość potraktujemy jako miarę Lebesgue'a, to ta miara jest zerowa na zbiorach jednopunktowych. Tak samo jak każda miara bezatomowa (atom - zbiór jednopunktowy o mierze dodatniej; atomy mają np. miary dyskretne).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 12:21 
Użytkownik

Posty: 704
To jasne. Intuicja podpowiada, ale zajrzyj do "Algebra" - Andrzej Białynicki - Birula (BM 40). Na stronie 16. powiedziane jest 0^0=1
Tak Pan A. B.-B. definiuje: \bigwedge \limits_{a \in K} a^{0}=1. Co więcej, nie ma żadnych warunków na ciało K.

PS.
a) żebym został dobrze zrozumiany : nie upieram się przy niczym - chcę rozumieć
b) właśnie przeczytawszy tę definicję, wpadła mi ta historia z objętością punktu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 12:30 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3181
Lokalizacja: Warszawa
Tak się przyjmuje dla wygody pewnych rozważań, ale nie ma żadnych podstaw by traktować to jako ogólną regułę. 0^0 to wciąż symbol nieoznaczony.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 19:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18427
Lokalizacja: Cieszyn
W szeregach potęgowych, aby wszystko ładnie pasowało, przyjmujemy 0^0=0. Chodzi o postać \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0x^0+a_1x^1+\dots\,. No więc albo będziemy pisali a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n bez żadnych nieporozumień, albo przyjmiemy dla x=0 oraz n=0, że 0^0=0 i możemy sobie sumować od zera. Tak więc, sd vocem poprzedniej wypowiedzi (przyznaję jej rację), mamy przykład innej wygodnej konwencji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 08:04 
Użytkownik

Posty: 704
Przyznam, że ta dowolność mnie nieco uwiera tzn.

0^0= \begin{cases} \ 0 \  \text{teraz}\\\ 1 \ \text{innym razem} \end{cases}

Z drugiej strony - prawdziwi matematycy nie zwracali i nie zwracają nadal na to uwagi, więc pokornie
zamilknę
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 11:03 
Użytkownik

Posty: 1576
Lokalizacja: Sosnowiec
SidCom napisał(a):
Z drugiej strony - prawdziwi matematycy nie zwracali i nie zwracają nadal na to uwagi, więc pokornie zamilknę

Nie wahaj się zadawać pytać. Według mnie w matematyce praktycznie wszystko da się wytłumaczyć, dlaczego jest tak, a nie inaczej i nie trzeba nic przyjmować na wiarę. Podam ci jeden z możliwych argumentów, dlaczego nie można jednoznacznie zdefiniować 0^0.

Zastanówmy się może, dlaczego w ogóle a^0=1, dla a\neq 0.

Wprowadzanie potęgowania w ciele zaczyna się od określenia go dla wykładnika naturalnego (bez zera). Można udowodnić, że takie działanie ma własność:
a^{n+m}=a^n \cdot a^m.
,dla a\in K, n,m\in \NN.

Teraz chcielibyśmy rozszerzyć działanie potęgowania również dla zera z zachowaniem tej własności. Musi zatem zachodzić
a^{n+0}=a^{n}a^{0}
a^{n}=a^{n}a^{0}
Przy założeniu, że a\neq 0 i n\in \NN mamy a^n\neq 0 i możemy podzielić przez a^{n}, co daje nam, że dla dla dowolnego a\neq 0 musi być a^0=1.

Natomiast jeśli chodzi o 0^0, to musi zachodzić
0^{0+0}=0^0\cdot 0^0
0^0=\left( 0^0\right)^2
0^0=0 \vee 0^0=1
Oznacza to, że tylko na podstawie tego równania funkcyjnego nie można jednoznacznie stwierdzić, ile wynosi 0^0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 11:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
matmatmm, a czy fakt, że a^0=1 można udowodnić też taki sposób:

Łatwo udowodnić, że: a^{m-n}=  \frac{a^m}{a^n}. Zatem a^0= a^{m-m}=  \frac{a^m}{a^m}=1. Czy to jest również taki formalny dowód? : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 12:52 
Użytkownik

Posty: 1576
Lokalizacja: Sosnowiec
Nie nazwałbym mojego rozumowania dowodem, gdyż zazwyczaj przyjmuje się z definicji, że dla a\neq 0 jest a^0=1. To co podałem jest próbą uzasadnienia, dlaczego akurat tak się definiuje.
leszczu450 napisał(a):
Łatwo udowodnić, że: a^{m-n}=  \frac{a^m}{a^n}. Zatem a^0= a^{m-m}=  \frac{a^m}{a^m}=1

Dowodzisz, że a^{0}=1. Jaką wobec tego przyjmujesz definicję potęgowania? Przez równanie funkcyjne?
Po drugie piszesz, ze łatwo udowodnić, że a^{m-n}=  \frac{a^m}{a^n}. Jaki dowód masz na myśli? I dla jakich m,n? Całkowitych? Naturalnych? Bo coś mi się wydaje, że w tym dowodzie trzeba skorzystać z tego, że a^0=1 i wtedy jesteśmy w błędnym kole.

EDIT. Jak się nad tym zastanowiłem, to chyba może to być poprawny dowód przy definicji potęgowania przez równanie funkcjyjne z założeniem, że a^{n}\neq 0 dla dowolnego n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 14:11 
Użytkownik

Posty: 704
matmatmm, wartościowa odpowiedź, dzięki.
Teraz będę spał spokojniej :)

PS. Z 15 lat temu zrobiłem absolutorium na Hoźej 69 w W-wie i nigdy wcześniej ani później nie brałem nic na wiarę...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 14:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18427
Lokalizacja: Cieszyn
matmatmm napisał(a):
[...]

Natomiast jeśli chodzi o 0^0, to musi zachodzić
0^{0+0}=0^0\cdot 0^0
0^0=\left( 0^0\right)^2
0^0=0 \vee 0^0=1
Oznacza to, że tylko na podstawie tego równania funkcyjnego nie można jednoznacznie stwierdzić, ile wynosi 0^0.


To nie jest równanie funkcyjne. W tego rodzaju równaniach niewiadomymi są funkcje. Np. równanie Cauchy'ego f(x+y)=f(x)+f(y), równanie Jensena f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}, równanie funkcjonałów kwadratowych f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y) itp.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 15:17 
Użytkownik

Posty: 1576
Lokalizacja: Sosnowiec
Oczywiście miałem na myśli równanie
f(n+m)=f(n)f(m)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 16:33 
Użytkownik

Posty: 15248
Lokalizacja: Bydgoszcz
I tu się często zapomina,że funkcje f(x)\equiv 0 oraz f(x)\equiv 1 też są rozwiązaniami tego równania :)

-- 13 lip 2014, o 15:45 --

@SidCom
w pewnym sensie masz jednak rację: spójrz na takie rozumowanie
Objętośc kuli 3-wymiarowej : V_3(r)=4/3\pi r^3 - pole powierzchni: S_2(r)=V_3'(r)=4\pi r^2
Pole koła (kuli 2-wymiarowej) : V_2(r)=\pi r^2 - obwód S_1(r)=V_2'(r)2\pi r
Długość odcinka o promieniu r: V_1(r)=2r - "pole brzegu" = S_0(r)=V_1'(r)=2
a ten brzeg składa się z dwóch punktów przecież :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 704
Schodząc z twoim rozumowaniem o 1 wymiar niżej mamy:

Objętość punktu wynosi V_0(0)=1 a powierzchnia S_0(0)=0

co Wy na to ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 15248
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nic.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzór na odległość punktu od prostej, odległość prost  Anonymous  1
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Wyznaczyć wart. param. dla których ukł. jest l. niezaleĹ  Anonymous  2
 Wyznacz wart. param. dla których ukł. jest liniowo zależ  Anonymous  3
 odległość punktu od powierzchni  therud  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl