szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 10:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Niech dany będzie potencjał pola centralnego U(r). Załóżmy, że jest on funkcją jednorodną stopnia \rho. Rozważając orbity ruchu i krzywe z nimi homotetyczne należy wyprowadzić III prawo Keplera przyjmując, że wiemy tylko, że \rho=-1, natomiast nie znamy pełnej postaci zależności U(r).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 18:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1602
Lokalizacja: Polska
ares41,
A z tego wyprowadzenia nie pójdzie ?
http://aneksy.pwn.pl/podstawy_fizyki/?id=801#eq:kepler_dynamika
Przy czym F _{w}=-m\nabla U(r) i jeśli r:=ar to U(ar)=a ^{-1}U(r)
Nie będę się wymądrzał bo tego nie liczyłem i pierwszy raz spotykam się z takim zadaniem,ale to pierwsze co mi przyszło na myśl.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 19:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Klasyczne wyprowadzenia znam. Zauważ, że tam jawnie korzystamy z faktu, że ciało znajduje się w polu o potencjale newtonowskim i stąd wnioskujemy, że orbitami są stożkowe, co w szczególności dla orbit zamkniętych implikuje ruch po elipsie. Mi chodzi raczej o ogólniejsze podejście jakościowe, prawo Keplera jest tam tylko przypadkiem szczególnym. Z porównania rozwiązań homotetycznych równania \ddot{\mathbf{r}}=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}} ( przy założeniu jednorodności potencjału; masy pomijam - zależy mi tylko na wynikach jakościowych ) należy wyznaczyć zależność między okresami odpowiadającymi tym rozwiązaniom ( będzie ona zależała od \rho ). W szczególności dla \rho=-1 ma wynikać stąd III prawo Keplera. Istotne jest tu to, że mając tylko informację o stopniu jednorodności potencjału możemy sporo powiedzieć o tym jak między sobą będą się różniły czasy ruchu po określonych orbitach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 19:52 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2914
Lokalizacja: Warszawa
Przepraszam, że się wtrącę, ale mam tylko pytanie skąd to zadanie :P Bo brzmi zajefajnie. Nie wypowiem się aktualnie szerzej na temat bo jestem po kilku piwach i mam kilka pomysłów i mój post można by uznać za bełkot i spam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 20:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1602
Lokalizacja: Polska
ares41 napisał(a):
Zauważ, że tam jawnie korzystamy z faktu, że ciało znajduje się w polu o potencjale newtonowskim i stąd wnioskujemy, że orbitami są stożkowe, co w szczególności dla orbit zamkniętych implikuje ruch po elipsie. Mi chodzi raczej o ogólniejsze podejście jakościowe, prawo Keplera jest tam tylko przypadkiem szczególnym.


Tak ,ale to nie ma znaczenia ,bo i tak wiesz jaką własność ma U(r) i de facto możesz traktować U(r) jako wiadomą.I w konsekwencji (po zastosowaniu II ZD) rozważyć ruch ogólny.Innymi słowy jawnie skorzystać z tego że potencjał ma postać U(r)\frac{ \vec{r} }{r}
Przy czym tak jak już powiedziałem nie liczyłem ,więc nie wiem czy da się to rozwiązać w ten sposób,ale spróbować warto.Nie wiem czy chodziło Ci o to że jest to właśnie wyprowadzenie klasyczne.

AiDi nie no po kilku piwach wierzę że możesz spokojnie pisać :mrgreen: Najwyżej za kilka godzin skorygujesz :P Ale pisz jak najszybciej bo też jestem ciekaw innych pomysłów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 20:25 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2914
Lokalizacja: Warszawa
Tzn, mój pomysł to trzymać U(r) (i szklankę Obrazek) jako niewiadomą i wykorzystać fakt homotetii, o środku gdzieśtam w jakimś ognisku i zapisać dwie orbity w ten sposób, albo generalnie przydałby się chyba może wzór na okres obiegu taki ogólny Obrazek I wtedy porównać wiedząc, że potencjał jest funkcją jednorodną. A najlepiej to w ogóle prześledzić klasyczne wyprowadzenie i je jakoś uogólnić, wyodrębnić to co istotne i niezależne od postaci potencjału Obrazek

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 20:34 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
AiDi napisał(a):
Przepraszam, że się wtrącę, ale mam tylko pytanie skąd to zadanie :P Bo brzmi zajefajnie.
Trochę "podrasowane" zadanie z Metod matematycznych mechaniki klasycznej W.I Arnolda. :)
Igor V napisał(a):
Innymi słowy jawnie skorzystać z tego że potencjał ma postać (...)
Niet. Nie korzystamy nigdzie z pełnej postaci potencjału - wtedy przecież możemy otrzymać pełne równania toru i policzyć sobie interesujące nas czasy bezpośrednio. W klasycznym wyprowadzeniu korzystamy jawnie z faktu, że orbitą jest elipsa.Tutaj chcemy odejść od tego założenia - nie wiemy po jakich torach porusza się nasz obiekt, a chcemy wiedzieć jaka jest zależność między okresami dla torów homotetycznych.
PS. Co będzie, gdy \rho=2 i jaki to ma związek z wahadłem ? :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2014, o 22:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1602
Lokalizacja: Polska
ares41 Dla mnie da , nadal się nie rozumiemy.Mi nie chodzi o to że zakładam że to jest elipsa.Mi chodziło po prostu o rozwiązanie m\vec{a}=-m \frac{\mbox{d}U(r)}{ \mbox{d}r}\frac{ \vec{r} }{r} w biegunowym układzie współrzędnych, przy czym wiemy tylko że U(r) jest centralne i funkcją jednorodną.By dążyć do tego by wyznaczyć r(\phi)
(i jak będzie ta krzywa to też da się wyznaczyć inne rzeczy np:pole).I z tego dopiero próbować udowodnić tezę.ALE tak jak na samym początku pisałem nie wiem czy przyjęcie U(r) , nie znając jej dokładnego wzoru (tylko własności) da jednoznaczne wyznaczenie trajektorii ,bo po prostu tego nie sprawdzałem.I to w sumie tyle...

ares41 napisał(a):

PS. Co będzie, gdy \rho=2 i jaki to ma związek z wahadłem ? :wink:

A no pewno coś ma...

AiDi
O_o

BTW:
AiDi napisał(a):
Tzn, mój pomysł to trzymać U(r) (i szklankę Obrazek) jako niewiadomą

A nie jako parametr ?

-- 12 lip 2014, o 22:18 --

BTW 2 : ares41, AiDi, mi się wydaje że coś podobnego było rozważane w Mechanice Klasycznej Taylora , (w sensie przypadek ogólny,orbity niekeplerowskie itd) ,ale głowy sobie nie dam uciąć.Jak znajdę książkę to poszukam ,chyba że Wy macie.

-- 12 lip 2014, o 23:28 --

BTW 3:A jeszcze tak przed spaniem rzuciło mi się że można by jeszcze spróbować rozwiązać równanie funkcyjne odnośnie jednorodności , bo jakby było mało potencjalnych funkcji to można by rozważać ich rodziny i wtedy by już były konkretne U(r)

BTW 4:AiDi możesz napisać coś więcej ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 08:15 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2914
Lokalizacja: Warszawa
Podchodząc do tego na trzeźwo ;)
Cytuj:
ALE tak jak na samym początku pisałem nie wiem czy przyjęcie U(r) , nie znając jej dokładnego wzoru (tylko własności) da jednoznaczne wyznaczenie trajektorii


Jednoznacznie nie da, oczywiście, ale założenie jest takie, że tory te są związane transformacją homotetii (tak przynajmniej zrozumiałem). Mój kosmiczny pomysł był taki (o ile dobrze rozumiem sam siebie) żeby spróbować jakoś zapisać dwa tory jako funkcje U(r) i jakoś wykombinować z tych torów czas obiegu i porównać. Choć swoją drogą w III prawie Keplera widnieje wielka półoś elipsy, nie wiem czym miałoby to być zastąpione w wersji 'ogólnej' :P Jutro się widzę z pewnym panem prof. z PANu więc obiecuję go zapytać, czy ma jakiś pomysł :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2014, o 09:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Igor V, układ biegunowy był jedną z pierwszych przetestowanych rzeczy. Jednak z której strony by tego nie ugryźć to dostaję jakieś dziwolągi, z których ciężko coś wyznaczyć ;)

Trochę mnie to zadanie zaintrygowało. :P Dzięki za odpowiedzi, z niecierpliwością czekam na jeszcze jakieś pomysły. Ja wracam do dalszych poszukiwań odpowiedzi :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 prawo Hooke'a, dł.drutu  krczak  3
 prawo Archimedesa - zadanie 3  jagoda1188  1
 prawo Gaussa - zadanie 4  Maqueh  0
 Interpretacja wykresu - prawo Hooke'a.  Starfire  1
 Prawo ciążenia  saniia  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl