szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2014, o 13:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35
Lokalizacja: Świętokrzyskie
Potrzebuje wyznaczyć odległość punktu od otoczki wypukłej dla uproszczenia w R^2. Łatwo jest obliczyć czy punkt znajduje się wewnątrz, suma kątów między punktami a punktem musi się równać 360^o i teraz jak obliczyć odległość punktu leżącego na zewnątrz otoczki. Jeśli punkt jest między dwoma punktami to mogę obliczyć wysokość trójkąta, ale to rozwiązanie nie uwzględnia krzywizny otoczki. Czy jest coś co można użyć aby obliczyć tą odległość. Co będzie dla 3 i więcej wymiarów.

Zadałem to pytanie ale dla 3D na math.stackexchange.com ale była tylko jedna odpowiedź z ostrosłupem.

Czy za pomocą geometrii różniczkowej albo topologii można rozwiązywać tego typu problemy? Nic nie wiem o tych dwóch działach matematyki.

Czy jest coś co byłoby potrzebne, a tego jeszcze nie ma, aby rozwiązać ten problem? Będę wdzięczny za każdy pomysł, który może pomóc w rozwiązaniu tego problemu.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2014, o 15:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
Najprościej znaleźć algorytm dla otoczki wypukłej skończonego układu punktów, czyli - krótko mówiąc - dla wielokąta wypukłego. Zależy jaki masz problem. Jeśli wielokąt - sprawa skończona. Jeśli nie - trzeba jakoś tę otoczkę opisać. Ponadto metody przestrzeni Hilberta podają sposób znajdowania odległości punktu od zbioru. Mianowicie w zbiorze domkniętym i wypukłym w przestrzeni Hilberta istnieje dokładnie jeden element o najmniejszej normie. Element ten wyznacza się konstrukcyjnie. Powiedzmy, że Twoja otoczka jest domknięta. Oznaczmy ją przez D. Niech x_0\not\in D. Wtedy zbiór x_0-D=\{x_0-y:y\in D\} też jest domknięty i wypukły i ma wobec tego element x_0-y_0\in D o najmniejszej normie. Wtedy \|x_0-y_0\| realizuje odległość x_0 od D.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2014, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 15043
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeżeli potrafisz opisac otoczkę wypukłą wzorem (np f(x_1,\dots,x_n)=0 a punkt ma współrzedne (a_1,\dots,a_n), to otrzymujemy zagadnienie szukania ekstremum warunkowego:

Znależć najiejszą wartośc funkcji g(x_1,\dots,x_n)=(x_1-a_1)^2+\dots+(x_n-a_n)^2 pod warunkiem, że f(x_1,\dots,x_n)=0.

Sposoby rozwiazywania takich zagadnień są znane (np. metoda mnożników Lagrange'a). Opis metody i przykłady znajdziesz np. w Fichtencholzu.

@szw... autor pisze o krzywiźnie otoczki, a zatem raczej nie mamy do czynienia z wielościanem/wielokątem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2014, o 16:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35
Lokalizacja: Świętokrzyskie
Chodzi o wielościan, z tym że najbliższy punkt wcale nie będzie odległością od otoczki. chodziłoby o odległość od krzywej interpolowanej (może być liniowo). Odległość puntu od takiej lini (prawdopodobnie będzie to linia prostopadła) może być różna od odległości dla najbliższego punktu. Pierwszym pomysłem było właśnie znalezienie najmniejszej metryki ale takie rozwiązanie jest błędne.

Algorytmy do znajdowania otoczki są znane nawet dla zbioru punktów w R^n, więc można założyć że mam zbiór punktów wielokąta. Zastanawiam sie czy nie wystarczy znaleźć n najbliższych punktów i wyznaczyć wysokość simpleksa (dla 2 wymiarów trójkąta), z tym że nie mam żadnej wiedzy na temat topologii więc nie wiem jak to ugryźć. Na Wikipedii znalazłem tylko wysokość simpleksa foremnego.

PS: Próbuje znaleźć rozwiązanie, które można obliczyć na komputerze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2014, o 16:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
A więc zobacz do podręczników analizy numerycznej. Problem jest tak klasyczny, że musi być gotowe rozwiązanie - algorytm. Tak też sądziłem, że potrzebny Ci jest stosunkowo najprostszy przypadek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2014, o 16:17 
Użytkownik

Posty: 15043
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cytuj:
Potrzebuje wyznaczyć odległość punktu od otoczki wypukłej


Cytuj:
Chodzi o wielościan, z tym że najbliższy punkt wcale nie będzie odległością od otoczki.


To o co chodzi?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Symetryczne odbicie punktu od prostej  norbert22  0
 Odległość punktu od płaszczyzny - zadanie 7  Evolution09  12
 Wyznaczyć współrzędne punktu - zadanie 3  max123321  3
 Znaleźć tor punktu A  at_new  1
 Odległość punktu od prostej - zadanie 27  math_admin  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl