szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2014, o 22:09 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f \left( x \right) =  \frac{1}{2} \left(  \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}+x }+ \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}-x } \right).
Oczywiście można to szybko zrobić ze średnich, tj. \frac{1}{2} \left(  \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}+x }+ \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}-x } \right)  \le  \sqrt{ \frac{2 \sqrt{x^{2}+1} }{2} } \le  \sqrt{ \frac{2}{2} }=1 Jakieś ciekawe inne sposoby ?
Zastanawia mnie generalnie sposób "normalnego liczenia" czyli tak jak w przypadku funkcji g \left( x \right) =x^{2}-x+1 liczenie p,q, ale inne też mile widziane.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2014, o 22:15 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Warszawa
Zapoznaj się z wyznaczaniem ekstremum funkcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2014, o 22:25 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
Myślałem nad tym, natomiast przeraziło mnie liczenie pochodnej funkcji f. Jako, że miałem podstawy to policzenie pochodnej w tym wypadku raczej trochę mnie przeraża. Trzeba tutaj użyć złożenie funkcji etc. czy można to jakoś zgrabnie prostą drogą policzyć ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2014, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Warszawa
Przykładowo, jeżeli mamy daną funkcję jednej zmiennej postaci:
g(x)= x^{2}-x+1
Jej ekstremum (minimum bądź maksimum) znajduje się w punkcie w którym pochodna funkcji g(x) jest równa zeru.
\frac{dg(x)}{dx}=0
\frac{dg(x)}{dx}=2x-1
2x-1=0 \Leftrightarrow gdy   x=0,5
Tym sposobem wyznaczyliśmy punkt w którym może znajdować się ekstremum. Nie wiemy jednak czy będzie to maksimum czy minimum. W tym celu sprawdzamy wartość drugiej pochodnej funkcji g(x)
\frac{dg^{2}(x)}{dx}=2
Druga pochodna funkcji jest większa od zera, dlatego możemy stwierdzić że w punkcie x=0,5 funkcja g(x) osiąga minimum. Aby wyznaczyć wartość ekstremum, obliczamy wartość funkcji w punkcie w którym to ekstremum istnieje.
tj. g(0,5)=0,75

-- 17 lip 2014, o 23:34 --

Wyznaczenie ekstremum funkcji f(x) jest dość kłopotliwe ze względu na jej złożoność. Z pewnością na zaliczeniu nie dostaniesz takiego przykładu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2014, o 22:36 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
Dziękuje.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 18 lip 2014, o 05:37 
Użytkownik

Posty: 13562
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zauważ, że w swoim oryginalnym poście poodwracałeś nierówności :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2014, o 07:47 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
A no... Rozwiązanie błędne, natomiast inaczej f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}+x }+ \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}-x } \right)  \ge 2 \cdot  \frac{1}{2}  \sqrt[4]{ (\sqrt{x^{2}+1}+x)( \sqrt{x^{2}+1}-x  })=1 przy czym równość zachodzi dla x=0. Poprawnie teraz ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2014, o 07:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5697
Tak.
Do tego samego mozna dojść z :
f \left( x \right) =  \frac{1}{2} \left(  \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}+x }+ \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}-x } \right)=\frac{1}{2} \left(  \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}+x }+  \frac{1}{  \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}+x }}\right).
Robiąc podstawienie :
a=  \sqrt{ \sqrt{x^{2}+1}+x };a>0
masz
f(x)=g(a)= \frac{1}{2} \left( a+ \frac{1}{a}\right)
Tu minimum występuje dla a=1 i g(a=1)=1
Teraz trzeba sprawdzić czy istnieje ,,x'' dla którego zachodziłoby takie minimum. x=0 to spełnia.

Gdyby takie x nie istniało to wartością najmniejszą nie będzie minimum, a najmniejsza z wartości liczonych na końcach dziedziny pierwotnej funkcji.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 najmniejsza wartosc funkcji - zadanie 2  dabros  3
 Najmniejsza wartosc funkcji - zadanie 3  macieklysy  1
 Najmniejsza wartość funkcji - zadanie 29  patisopel  7
 Najmniejsza wartość funkcji - zadanie 30  MrCommando  4
 najmniejsza wartość funkcji  jawor  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl