szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 sie 2014, o 17:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Mam dylemat, czy metoda, którą stosuję jest dobra, dlatego proszę o wyjaśnienie.

Mam znaleźć równanie prostej, która jest równoległa do dwóch płaszczyzn \alpha ,  \beta oraz przechodzi przez punkt przecięcia płaszczyzn \alpha ,  \beta , \gamma. Wszystkie trzy płaszczyzny mam dane w postaci ogólnej, więc wiem jakie są ich wektory normalne.

Robię tak. Najpierw szukam punktu przecięcia, aby otrzymać jeden punkt, który należy do prostej. Tutaj sprawa jest prosta - po prostu rozwiązuje układ trzech równań - każde równanie to jedna płaszczyzna i jego rozwiązaniem jest punkt przecięcia, który należy do szukanej prostej. Żeby wyznaczyć równanie prostej potrzebuję jeszcze wektora kierunkowego.

Wektor kierunkowy znajduję w ten sposób:
Oznaczam go sobie: \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}). Skoro prosta jest równoległa do tych dwóch płaszczyzn, to wektor ten musi być prostopadły do wektora normalnego jednej i drugiej płaszczyzny. Dzieje się tak, gdy iloczyn skalarny tych wektorów jest równy zero. Tworze układ dwóch równań z czterema niewiadomymi. Rozwiązuje go tak, że mam rozwiazanie z parametrem. I właśnie tutaj nie jestem pewna, czy mogę w ten sposób wyznaczyć wektor kierunkowy prostej, majać trzy współrzędne zależy od parametru.

Będę wdzięczna za wszelkie wyjaśnienia i uwagi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2014, o 18:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6643
Cześć.
Mając punkt współny trzech płaszczyzn (czyli pkt, zaczepienia prostej) wektor kierumkowy prostej znajdujesz z iloczynu wektorowego wektorów normalnych płaszczyzn \alpha , \beta. (To standardowe rozwiazanie)
Jest on prostopadły do danego wektora normalnego, a więc i równoległy do płaszczyzny z której normalny był dany.


Twój pomysł:
Cytuj:
Tworze układ dwóch równań z czterema niewiadomymi. Rozwiązuje go tak, że mam rozwiazanie z parametrem.

(Raczej z trzema niewiadomymi.)
Ponieważ wektor kierunkowy może mieć dowolną długość przyjmij że np. jego pierwsza współrzędna jest równa 0 lub1 lub 2. (Warto wpierw wybrać zero )
Gdy wyjdzie układ sprzeczny weź inną wartość.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 sie 2014, o 20:20 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: wro
A czy przypadkiem \alpha i \beta nie są równoległe?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2014, o 20:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6643
Gdy \alpha  \left| \right| \beta (lub jedna z nich jest \left| \right| \gamma)
to układ równań \alpha  \beta \gamma nie jest oznaczony.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2014, o 20:24 
Użytkownik

Posty: 15824
Lokalizacja: Bydgoszcz
mariakow napisał(a):
A czy przypadkiem \alpha i \beta nie są równoległe?


Jak są równoległe, to skąd weźmiesz punkt przecięcia trzech płaszczyzn?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 sie 2014, o 20:34 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: wro
To co to jest prosta równoległa do dwóch płaszczyzn, które nie są równoległe?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2014, o 20:38 
Użytkownik

Posty: 15824
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jak sobie weźmiesz styk podłogi i ściany i postawisz prostokątny stół równolegle do ściany, to jego krawędź jest równoległą do podłogi i ściany
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 sie 2014, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: wro
Ok. Bez stołu: jeśli płaszczyzny nie są równoległe, to się przecinają wzdłuż pewnej prostej. I teraz już łatwo znaleźć równoległą.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 sie 2014, o 21:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
kerajs napisał(a):
Cześć.
Mając punkt współny trzech płaszczyzn (czyli pkt, zaczepienia prostej) wektor kierumkowy prostej znajdujesz z iloczynu wektorowego wektorów normalnych płaszczyzn \alpha , \beta. (To standardowe rozwiazanie)
Jest on prostopadły do danego wektora normalnego, a więc i równoległy do płaszczyzny z której normalny był dany.


Chyba to rozwiązanie jest najlepsze.

kerajs napisał(a):
(Raczej z trzema niewiadomymi.)
Ponieważ wektor kierunkowy może mieć dowolną długość przyjmij że np. jego pierwsza współrzędna jest równa 0 lub1 lub 2. (Warto wpierw wybrać zero )
Gdy wyjdzie układ sprzeczny weź inną wartość.


Tak oczywiście, chodziło mi o trzy.
Jednak mój sposób z zostawieniem parametru i potem pozbyciem się go przez pomnożenia równania prostej w postaci kanonicznej, nie należy do prawidłowych, gdyż okazuje się, że rozwiązując ten układ na dwa sposoby, wychodzą mi różne wektory, które nie są równolegle.

Spróbuje zrobić tak jak radzisz, czyli najpierw podstawić za pierwszą współrzędną dowolną wartość. Wtedy rozwiazanie powinno być jednoznaczne, bo nie ma znaczenia długość wektora, lecz proporcje między współrzędnymi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sie 2014, o 00:52 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Gliwice
W ogólnym przypadku, prosta nie może być równocześnie równoległa do dwóch płaszczyzn, oraz przecinać w którymkolwiek punkcie prostą ich przecięcia, poza sytuacją że się pokrywa z prostą ich przecięcia. Ten punkt przecięcia trzech płaszczyzn byłby na prostej przecięcia się tych dwóch równoległych do prostej. Wtedy trzecia jest niepotrzebna, bo nei robiłoby żadnej różnicy w jakim punkcie się te trzy płaszczyzny przetną.

-- 26 sie 2014, o 00:58 --

Zasugerowałem się tą trzecią i napisałem o sprzeczności na początku :P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prosta przecinająca płaszczyzne.  Mateusz9000  1
 Prosta prostopadła do prostej i przechodząca przez punkt P  duiner  2
 prosta równolegla do plaszczyzny  Vixy  1
 płaszczyzna oskulacyjną i prosta binormalna  agus221  1
 Prosta styczna do okręgu w R3  Gusek  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl